a. Par symétrie \vec{A} ne dépend lui non plus que de r et de z à l'intérieur de la bobine. De plus il est contenu dans les plans de symétrie de ses causes (ici, le courant) : il est donc parallèle à Oz.
En reprenant l'expression du rotationnel pour la seule composante non nulle de \vec{B} suivant \vec{e_\phi} on obtient
\frac{\partial (A_r)}{\partial z} - \frac{\partial A_z}{\partial r}=\frac{\mu _0 I N}{2\pi r}
La dépendance en z de A_r se réduit donc à une constante que nous pouvons prendre nulle et pour A_z on obtient
- \frac{\partial (A_z)}{\partial r}=\frac{\mu _0 I N}{2\pi r}
A_z=-\frac{\mu _0 I N}{2\pi} \ln r +K
avec K constante.
b. Calculons la circulation de \vec{A} le long du circuit donné ; seuls les côtés parallèles à Oz donneront une circulation non nulle.
\oint _{{C}_2} \vec{A}.\vec{dl}= -\int _0^{c} dz \frac{\mu _0 I N}{2\pi} \ln R+ \int _0^{c} dz \frac{\mu _0 I N}{2\pi} \ln (R+c)
\oint _{{C}_2} \vec{A}.\vec{dl}= c\frac{\mu _0 I N}{2\pi} (\ln (R+c) -\ln (R))
en orientant le circuit dans le sens trigonométrique sur la figure donnée. Calculons le flux de \vec{B} à travers ce même circuit ; \vec{dS} sera colinéaire à \vec{e_\phi} et opposé en sens ; il y aura une dépendance triviale en z mais non triviale en r.
\int\!\!\! \int _{{S}_2} \vec{B}.\vec{dS} =-\int_R^{R+c} dr \int_0^c dz \frac{\mu _0 I N}{2\pi r}
\int \!\!\!\int _{{S}_2} \vec{B}.\vec{dS} =-\int_R^{R+c} dr c \frac{\mu _0 I N}{2\pi r}
\int \!\!\!\int _{{S}_2} \vec{B}.\vec{dS} = c\frac{\mu _0 I N}{2\pi} (\ln (R+c) -\ln (R))
et on retrouve bien le même résultat comme l'on s'y attendait avec le théorème de Stokes
\oint _{C} \vec{A}.\vec{dl} = \int\!\!\! \int _{S} \vec{\mbox{rot}} \vec{A} . \vec{dS}