a. \vec{A}=\frac{Br}{2} \vec{e}_\phi

b. A_x = -\frac{Br}{2} - \sin \phi = -B\frac{y}{2}

A_y = \frac{Br}{2} \cos \phi = B\frac{x}{2}

A_z =0

c. Voir la réponse détaillée

a. Le théorème de Stokes s'exprime sous la forme

\oint _{C} \vec{A}.\vec{dl} = \int\!\!\! \int _{S} \vec{\mbox{rot}} \vec{A} . \vec{dS}

comme on suppose que \vec{A} = A \vec{e}_\phi (\vec{A} est un vrai vecteur et possède les symétries de ses causes)

on obtient

\int _O^{2\pi} A r d\phi = \int\!\!\! \int _{S} \vec{B} . \vec{dS}

puisque \vec{B} = \vec{rot}\vec{A} ; comme \vec{B} est constant et aligné suivant \vec{e}_z l'intégration est triviale et on a

2\pi r A = \pi r ^ 2 B

soit

\vec{A}=\frac{Br}{2} \vec{e}_\phi

b. Les coordonnées du vecteur \vec{e}_\phi sont en projection

\vec{e}_\phi .\vec{e_x} = - \sin \phi

\vec{e}_\phi .\vec{e_y} = \cos \phi

donc

A_x = -\frac{Br}{2} - \sin \phi = -B\frac{y}{2}

A_y = \frac{Br}{2} \cos \phi = B\frac{x}{2}

A_z =0

c. En prenant le produit vectoriel

\vec {\mbox{rot}} \vec{A} = \vec{\nabla} \wedge \vec{A}

la seule composante non nulle est celle sur z et on obtient bien

B_z=\frac{B}{2}\left (\frac{\partial x}{ \partial x } - \frac{\partial - y}{ \partial y } \right)

B_z=\frac{B}{2}(1+1)