a. $\vec{A}=\frac{Br}{2}{\vec{e}}_{\phi }$

b. $A_x=-\frac{Br}{2}-\sin \phi =-B\frac{y}{2}$

$A_y=\frac{Br}{2}\cos \phi =B\frac{x}{2}$

$A_z=0$

c. Voir la réponse détaillée

a. Le théorème de Stokes s'exprime sous la forme

${\oint }_C\vec{A}.\overrightarrow{dl}=\int {\int }_S\overrightarrow{\text{rot}}\vec{A}.\overrightarrow{dS}$

comme on suppose que $\vec{A}=A{\vec{e}}_{\phi }$ ($\vec{A}$ est un vrai vecteur et possède les symétries de ses causes)

on obtient

${\int }_O^{2\pi }Ard\phi =\int {\int }_S\vec{B}.\overrightarrow{dS}$

puisque $\vec{B}=\overrightarrow{rot}\vec{A}$ ; comme $\vec{B}$ est constant et aligné suivant ${\vec{e}}_z$ l'intégration est triviale et on a

$2\pi rA=\pi r^{2}B$

soit

$\vec{A}=\frac{Br}{2}{\vec{e}}_{\phi }$

b. Les coordonnées du vecteur ${\vec{e}}_{\phi }$ sont en projection

${\vec{e}}_{\phi }.\overrightarrow{e_x}=-\sin \phi$

${\vec{e}}_{\phi }.\overrightarrow{e_y}=\cos \phi$

donc

$A_x=-\frac{Br}{2}-\sin \phi =-B\frac{y}{2}$

$A_y=\frac{Br}{2}\cos \phi =B\frac{x}{2}$

$A_z=0$

c. En prenant le produit vectoriel

$\overrightarrow{\text{rot}}\vec{A}=\vec{\nabla }\wedge \vec{A}$

la seule composante non nulle est celle sur $z$ et on obtient bien

$B_z=\frac{B}{2}(\frac{\partial x}{\partial x}-\frac{\partial -y}{\partial y})$

$B_z=\frac{B}{2}(1+1)$