a. On peut créer un champ magnétique constant sur une grande zone d'intérêt soit en se plaçant par exemple soit au centre d'un solénoïde de grande taille par rapport aux dimensions du dispositif, soit entre deux bobines de Helmholtz (bobines très fines, de diamètre égal à leur distance réciproque). Un champ variable est obtenu en alimentant les bobines par un courant alternatif sinusoïdal.
b. La loi de Lenz stipule que la force électromotrice e induite crée un courant donnant un champ magnétique opposé au champ inducteur.
Mathématiquement le le flux de \vec{B} à travers la surface du cadre vaut
\Phi = \int \!\!\! \int _S \vec {B} .\vec{dS} = B(t) a^2
en orientant la surface dans le même sens que le champ magnétique.
Donc
e = -\frac{d\Phi}{dt}=-\omega B_0 a ^2 \sin \omega t
On néglige ce faisant les effets d'auto-induction dans le cadre ce qui est justifié puisqu'il n'y a qu'un enroulement.
c. On trouve e_{\mbox {max}}= 6, 28 .10 ^{-4}V . Cette valeur est relativement faible, pour l'augmenter il faudrait augmenter le nombre d'enroulements du dispositif ou augmenter la fréquence ou la taille du cadre. En pratique dans un dispositif ménager de cuisson par induction il n'y a qu'une spire et on voit que la tension induite est sans danger (mais pour une forte conductivité du matériau on pourra avoir de très fortes intensités électriques).
d. Le champ électromoteur de Neumann \vec{E_m} vaut en général
\vec{E_m} = \vec{v_c} \wedge \vec{B}-\frac{\partial \vec{A}}{\partial t}
où \vec{v_c} est la vitesse du circuit (ici nulle).
En reprenant l'expression du potentiel vecteur \vec{A} on obtient
\vec{E_m} = -\frac{\partial \vec{A}}{\partial t}=(\frac{\partial B}{\partial t}\frac{y}{2},-\frac{\partial B}{\partial t}\frac{x}{2},0)
or par définition de la force électromotrice
e=\oint _{\cal C} \vec{E_m} . \vec{dl} = \int _{-\frac{a}{2}}^\frac{a}{2} E_{mx}(\mbox {pris en} y=\frac{a}{2}) dx + \mbox{etc}
en calculant les quatre intégrales on trouve bien
e= \frac{\partial B}{\partial t} a ^2
et le résultat précédent.
e. Comme
\vec{E_m} = -\frac{\partial \vec{A}}{\partial t}
\vec{\mbox{rot}} \vec{E_m} = - \vec{\mbox{rot}} \frac{\partial \vec{A}}{\partial t}
\vec{\mbox{rot}} \vec{E_m} = - \frac{\partial \vec{B}}{\partial t}
On retrouve l'équation de Maxwell-Faraday.