a. \vec{E_m} = \vec{v_c} \wedge \vec{B}-\frac{\partial \vec{A}}{\partial t}

b. \vec {dF}= d\tau \vec{j} \wedge \vec {B}

c. \vec {dF}= - d\tau \sigma \vec{v_c} B^2

\vec{F} = -a^3 \sigma \vec{v_c} B^2

d. Voir la réponse détaillée

a. Le champ électromoteur de Neumann \vec{E_m} vaut en général

\vec{E_m} = \vec{v_c} \wedge \vec{B}-\frac{\partial \vec{A}}{\partial t}

où \vec{v_c} est la vitesse du circuit ; ici \vec{A} ne varie pas dans le temps.

b. localement cette force sur un élément de volume d\tau vaut

\vec {dF}= d\tau \vec{j} \wedge \vec {B}

c. en introduisant la forme locale de la loi d'Ohm

\vec {dF}= d\tau \sigma \vec{E_m} \wedge \vec {B}

or \vec{E_m} = \vec{v_c} \wedge \vec{B}

donc

\vec {dF}= - d\tau \sigma \vec{v_c} B^2

et en intégrant sur le cube

\vec{F} = -a^3 \sigma \vec{v_c} B^2

d. On voit qu'en présence de champ magnétique même fixe il apparaît par induction une force toujours opposée au sens du mouvement. Le pendule va donc s'arrêter rapidement. Ce principe est utilisé dans les ralentisseurs de véhicules lourds par exemple.