a. Ici nous n'avons qu'une espèce de porteurs de charge (vraisemblablement des électrons) donc on peut écrire
\vec{j} = \rho \vec{v}
par définition, sinon il faudrait sommer cette loi sur tous les porteurs de charge (présence d'ions différents en chimie par exemple).
b. en supposant la forme locale de la loi d'Ohm
\vec{j} = \sigma \vec{E_m}
c. par définition
{P} = \int \!\!\! \int \!\!\! \int \vec{F}.\vec{v} d\tau
où \vec{F} est la force s'exerçant sur les porteurs de charge de vitesse \vec{v} contenus dans le volume élémentaire d\tau Cette force est la force de Lorentz
\vec{F} = \rho (\vec{E}+ \vec{v} \wedge \vec {B})
manifestement le champ magnétique ne travaille pas et il reste
{P} = \int \!\!\! \int \!\!\! \int \vec{j} .\vec{E} d\tau
en employant la définition de la densité de courant microscopique rappelée plus haut.
Ici
{P} = \int \!\!\! \int \!\!\! \int \sigma \vec{E_m}^2 d\tau
\vec{E_m} = -\frac{\partial \vec{A}}{\partial t}=(\frac{\partial B}{\partial t}\frac{y}{2},- \frac{\partial B}{\partial t}\frac{x}{2},0)
donc
\vec{E_m}^2 = \frac{\partial B}{\partial t}^2\frac{x^2+y^2}{2}
\vec{E_m}^2 = \omega ^2 B_0 ^2 \sin ^2 \omega t \frac{x^2+y^2}{2}
et
{P} = \int _{-\frac{a}{2}}^\frac{a}{2} \!\!\! \int _{-\frac{a}{2}}^\frac{a}{2} \!\!\! \int _{-\frac{a}{2}}^\frac{a}{2}dxdydz \sigma \omega ^2 B_0 ^2 \sin ^2 \omega t \frac{x^2+y^2}{2}
or
\int _{-\frac{a}{2}}^\frac{a}{2} \!\!\! \int _{-\frac{a}{2}}^\frac{a}{2} dxdy (x^2+y^2) = \int _{-\frac{a}{2}}^\frac{a}{2} dx (x^2 + \frac{a^3}{12})
en effectuant par exemple l'intégrale sur y
puis
\int _{-\frac{a}{2}}^\frac{a}{2} \!\!\! \int _{-\frac{a}{2}}^\frac{a}{2} dxdy (x^2+y^2) = \frac{a^4}{6}
en effectuant les deux intégrales restantes sur x.
Finalement l'intégration sur z étant triviale il reste
{P} = \sigma \omega ^2 B_0 ^2 \sin ^2 \omega t \frac{a^5}{12}
On a donc bien un chauffage par induction du cube de cuivre d'autant plus important que le matériau est bon conducteur, que son volume est grand, ou que la fréquence du courant est importante; d'où la limitation du courant alternatif aux faibles fréquences pour limiter ces pertes.
d. par définition le courant de déplacement vaut
\vec{j}_D = \epsilon _0 \frac{\partial \vec{E_m}}{ \partial t }
en faisant la substitution demandée.
or
\vec{E_m} = -\frac{\partial \vec{A}}{\partial t}=(\frac{\partial B}{\partial t}\frac{y}{2},- \frac{\partial B}{\partial t}\frac{x}{2},0)
donc
j_D \approx \epsilon _0 B_0 \omega ^2 a
en prenant les valeurs maxima.
e. on obtient
\frac{j_D}{j} \approx \frac{ \epsilon _0 B_0 \omega ^2 a }{\sigma E}
\frac{j_D}{j} \approx \frac{ \epsilon _0 B_0 \omega ^2 a }{\sigma B_0 \omega a }
\frac{j_D}{j} \approx \frac{ \epsilon _0 \omega }{\sigma }
\frac{j_D}{j} \approx 10^{-17} \omega
Le courant de déplacement est donc négligeable sauf pour les très grandes fréquences (lumière...)