Par définition
\vec{\Pi}=\frac{\vec{E_i} \wedge {B_i} }{\mu _O}
en substituant
\vec{\Pi}=\frac{\vec{E_i} \wedge \vec{u}' E_i }{ c \mu _O}
\vec{\Pi}=E_i^2 \frac{\vec{u_z} \wedge \vec{u}' }{ c \mu _O}
\vec{\Pi}=E_0^2\cos ^2 (\omega t - k \cos \alpha x - k \sin \alpha y) \frac{\vec{u} }{ c \mu _O}
La valeur moyenne d'un cosinus carré vaut 1/2 et on sait que c^2=\frac{1}{\epsilon _0\mu _0}
donc
< \vec{\Pi}>=\frac{1}{2} E_0^2 c \epsilon _0 \vec{u}
Or la puissance moyenne P_s à travers une surface perpendiculaire à la direction de propagation est égale au flux du vecteur de Poynting moyen
P_s= < \vec{\Pi}>.\frac{\vec{dS}}{dS}=\frac{1}{2} c \epsilon _0 E_0^2