Cette puissance est égale au flux du vecteur de Poynting \vec{\Pi}. Ainsi
\vec{\Pi}=\frac{\vec{E} \wedge {B} }{\mu _0}
\vec{\Pi}=c\frac{(\vec{B} \wedge \vec{u}_r ) \wedge {B} }{\mu _0}
\vec{\Pi}=\frac{c}{\mu _0} B^2 \vec{u}_r
puis
d^2 P= \vec{\Pi} . \vec{dS} = dS \frac{\mu _0}{16 \pi ^2 r^2 c} (\vec{u}_r \wedge \ddot {\vec p}) ^2
en remplaçant \vec{B} par son expression puis en simplifiant.
Or si nous notons \theta ' l'angle entre \ddot {\vec p} et \vec{u}_r il vient
(\vec{u}_r \wedge \ddot {\vec p}) ^2 = \ddot {\vec p} ^2 \sin ^2 \theta '
donc la puissance totale rayonnée vaut
P(R,t)=\int \!\!\! \int d^2P = \int _{\phi =0}^{2\pi} \!\!\! \int _{\theta ' =0}^{\pi} \Pi 4\pi r^2 \sin ^3 \theta' d\theta ' d\phi
P(R,t)=\int _{\theta '=0}^{\pi} \frac{\mu _0}{8 \pi c} \ddot {\vec p} ^2 \sin ^3 \theta ' d\theta '
P(R,t)= \frac{\mu _0}{6 \pi c} \ddot {\vec p} ^2 (t-\frac{R}{c} )
en notant que l'intégrale sur \theta ' vaut 4/3 (résultat classique).