Ici la charge rayonnante se trouve à un vecteur distance \vec {\rho} de l'origine le vecteur dipôle vaut donc
\vec{p}=-e\vec{\rho}
Si le rayonnement est suffisamment faible pour ne pas perturber la trajectoire de l'électron on a
\ddot{\vec{p}} =-e \ddot{ \vec{\rho}}=-\frac{e^3}{4\pi \epsilon _0 m \rho ^2} \vec{u}_\rho
en vertu des équations de Newton (ou du principe fondamental de la dynamique), l'électron étant uniquement soumis à une force radiale, la force de Coulomb.
Donc
\ddot{\vec{p}} ^2 =\frac{e^6}{16\pi ^2 \epsilon _0 ^2 m ^2 \rho ^4}
et
P(R,t)= \frac{\mu _0}{6 \pi c} \ddot {\vec p} ^2 = \frac{\mu _0}{6 \pi c} \frac{e^6}{16\pi ^2 \epsilon _0 ^2 m ^2 \rho ^4}
et on a bien
P(R,t)=\frac{2}{3} \frac{mc^3\delta ^3}{\rho ^4}