Définition
Les coordonnées sphériques (voir figure 6) permettent de repérer un point sur une sphère de rayon
. C'est typiquement le repérage d'un point sur la Terre pour lequel il suffit alors de préciser deux angles : la latitude et la longitude.
Figure 6 : Le système de coordonnées sphériques
et la base associée
Coordonnées sphériques
:
La coordonnée radiale
correspond à la distance de l'origine
du repère au point
.
La coordonnée angulaire
correspond à l'angle que fait
avec l'axe
. Cet angle, compris entre
et
, est appelé colatitude (angle complémentaire de la latitude) ou zénith.
La coordonnée angulaire
correspond à l'angle que fait le plan défini par l'axe
et
avec l'axe
. Cette angle, compris entre
et
, est appelé la longitude ou l'azimut.
La base des coordonnées sphériques
Le vecteur position permet de définir le premier vecteur de la base :
Le vecteur unitaire
est suivant la direction et le sens de
vers
: c'est le vecteur radial (suivant le rayon).
Lorsque seul l'angle
varie le point
décrit un demi-cercle (un méridien) de rayon
. Le vecteur unitaire
est tangent à ce demi-cercle (suivant le méridien) orienté comme
.
Lorsque seul l'angle
varie le point
décrit un cercle de rayon
. Le vecteur unitaire
est tangent à ce cercle (suivant un parallèle) orienté comme
.
Les vecteurs
forment une base orthonormée directe. Cette base est « mobile » dans le repère.
Relation entre les coordonnées sphériques et cartésiennes
La projection
du point
sur l'axe
donne la cote :
Si
est la projection de
sur le plan
on a :
Les coordonnées
et
du point
sont celles du point
c'est à dire :
Le vecteur unitaire
suivant
a pour expression :
Le vecteur unitaire
est directement perpendiculaire à
. Il fait un angle
avec l'axe
et s'écrit :
Le vecteur unitaire
a pour expression :
Enfin, le vecteur unitaire
est directement perpendiculaire à
et s'écrit :
Attention :
Les coordonnées sphériques du point
sont :
Les composantes du vecteur position
sont :