Puisque la description d'un écoulement requiert nécessairement l'utilisation d'un certain nombre de grandeurs caractéristiques, il nous faut commencer par les définir précisément.
La particule fluide
C'est l'entité élémentaire choisie pour permettre une description complète des écoulements. Il s'agit d'un « paquet de molécules »
entourant un point M donné de l'espace fluide. Ces molécules sont alors supposées avoir toutes la même vitesse à chaque instant.
Description d'Euler
C'est une description de l'écoulement qui consiste à établir à un instant t donné l'ensemble des vitesses associées à chacun des points de l'espace fluide. Ainsi, à chaque point M est associé une vitesse 
susceptible d'évoluer dans le temps. L'écoulement du fluide est alors décrit au moyen d'un ensemble de vecteurs vitesse appelé « champ de vecteurs vitesse »
. C'est donc une image instantanée de l'écoulement qui est utilisée.
Sur la base de ce champ de vecteurs vitesse, on définit comme « ligne de courant »
la courbe qui en chacun de ses points est tangente au vecteur vitesse (figure 37). Au même titre que le champ de vecteurs vitesse, il s'agit donc d'une représentation au sein l'espace fluide susceptible d'évoluer dans le temps ; en conséquence, on prendra soin de dater les lignes de courant ainsi définies (ligne de courant passant par tel point à l'instant
).
Description de Lagrange
Il s'agit d'une description de l'écoulement qui consiste à suivre dans l'espace fluide la position d'une particule choisie en fonction du temps. Il en découle la définition de la « trajectoire »
d'une particule fluide : c'est l'ensemble des positions occupées successivement par une même particule (figure 38).
Attention :
Il ne faut pas confondre ligne de courant et trajectoire. Ce sont deux notions fondamentalement différentes. En effet, si initialement (à 
) une particule occupe un point 
, elle se dirigera naturellement dans la direction donnée par la ligne de courant passant par à 
, mais à 
cette même particule se trouvera en un point 
appartenant à une ligne de courant définie à et qui n'a a priori aucune raison d'être identique à celle définie à 
. Les deux courbes divergent donc dès que 
.
Remarque :
Les deux descriptions, Euler et Lagrange, sont complémentaires et permettent souvent la conjugaison de deux approches différentes pour décrire un même écoulement. Pour faire une analogie avec le domaine de l'image et de la vidéo, il serait opportun de comparer la description d'Euler à un « arrêt sur image »
d'une vidéo, et d'associer la description de Lagrange à une photo prise avec un temps de pose très long (photo de nuit).
Ligne d'émission
Toutes les particules étant passées par un même point E sont situées à l'instant 
sur une courbe appelée « ligne d'émission »
relative au point E à l'instant . La figure 39 explicite cette définition qui n'a a priori rien de très intuitif. Toutefois, il s'agit d'une courbe qu'il est souvent très facile de mettre en évidence expérimentalement : l'exemple le plus explicite étant la source colorante au sein d'un écoulement de fluide translucide, où le filet coloré ainsi produit correspond à une ligne d'émission.
Écoulement permanent
Un écoulement est qualifié de permanent (ou stationnaire) lorsque le champ de vecteurs vitesse de l'espace fluide qu'il occupe est statique : les vecteurs vitesse n'évoluent pas dans le temps. Les conséquences sont multiples :
les lignes de courant sont aussi statiques ;
les trajectoires coïncident avec les lignes de courant ;
les lignes d'émission coïncident également avec les lignes de courant.
Il n'y a donc plus aucune dépendance explicite avec le temps et les courbes précédemment définies et fondamentalement différentes coïncident dans l'espace fluide.
Remarque :
Tout écoulement non stationnaire est extrêmement difficile (voire souvent impossible) à décrire d'un point de vue purement analytique. Il ne sera donc question dans ce cours que de descriptions d'écoulements permanents.
