Soit une particule A en mouvement (quelconque) par rapport à un référentiel d'inertie \mathcal{R}. Ce mouvement est une suite d'évènements de coordonnées (ct, x, y,z). Ces coordonnées de l'espace-temps forment des quadrivecteurs positions notés 4 - x.
La durée dt séparant deux positions infiniment voisines est obtenue à l'aide de deux horloges synchronisées situées aux points de passage de la particule A. L'intervalle de genre temps ds vaut :
ds = (c^2 dt^2 - dx^2 - dy^2 - dz^2)^{\frac12} = c dt [1 - \frac{1}{c^2}(\frac{dx}{dt})^2 - \frac{1}{c^2}(\frac{dy}{dt})^2 - \frac{1}{c^2} (\frac{dz}{dt})^2 ]^{\frac12}
Soit \vec v la vitesse de la particule A par rapport à \mathcal{R}. On définit la durée propre élémentaire de la particule A par la grandeur invariante d\tau :
d\tau = \frac{ds}{c} = (1 - \frac{v^2}{c^2})^{\frac12}dt
Le quadrivecteur vitesse 4 - v possède des composantes u^i qui se définissent à partir de celles du quadrivecteur 4 - x selon :
u^i = \frac{dx^i}{d\tau} = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} \frac{dx^i}{dt} = \gamma \frac{dx^i}{dt}
Les coordonnées du quadrivecteur vitesse sont donc :
\displaystyle{ \left\{\begin{array}{c c c} u^0 = (1 - \frac{v^2}{c^2})^{-\frac12}c = \gammac \\ u^1 = (1 - \frac{v^2}{c^2})^{-\frac12}v_x = \gamma v_x \\ u^2 = (1 - \frac{v^2}{c^2})^{-\frac12} v_y = \gamma v_y \\ u^3 = (1 - \frac{v^2}{c^2})^{-\frac12} v_z = \gamma v_z \end{array}
Notons qu'il ne faut pas confondre la vitesse \vec v quelconque de la particule A avec la vitesse d'entraînement \vec V_e constante d'un référentiel d'inertie par rapport à un autre.
On définit la pseudo-norme du quadrivecteur vitesse comme suit :
\parallel u\parallel^2 = \sum_{\mu, v = 0}^3 u^{\mu}g_{\muv}u^v
Son calcul formel indique qu'il s'agit d'une grandeur invariante :
\parallel u\parallel ^2 = (1 - \frac{v^2}{c^2})^{-\frac12} (c^2 - v^2) (1 - \frac{v^2}{c^2})^{-\frac12} = c^2
Calculons les composantes du quadrivecteur vitesse d'une particule qui se déplace à la vitesse 0.8c le long de l'axe x. En utilisant les relations \displaystyle{ \left\{\begin{array}{c c c} u^0 = (1 - \frac{v^2}{c^2})^{-\frac12}c = \gammac \\ u^1 = (1 - \frac{v^2}{c^2})^{-\frac12}v_x = \gamma v_x \\ u^2 = (1 - \frac{v^2}{c^2})^{-\frac12} v_y = \gamma v_y \\ u^3 = (1 - \frac{v^2}{c^2})^{-\frac12} v_z = \gamma v_z \end{array}, on obtient : u^0 = 1.67c, u^1 = 1.333c, u^2 = 0, u^3 = 0. On vérifie aussi que sa pseudo-norme vaut bien c^2 :
Enfin, notons que les transformations de Lorentz-Poincaré s'appliquent aux quadrivecteurs vitesse et s'écrivent :
\displaystyle{ \left\{\begin{array}{c c c} u^0 = \gamma_e (u^{0'} + \beta_e u^{1'}) \\ u^1 = \gamma_e (\beta_e u^{0'} + u^{1'}) \\ u^2 = u^{2'}\\ u^3 = u^{3'} \end{array}
et inversément :
\displaystyle{ \left\{\begin{array}{c c c} u^0' = \gamma_e (u^{0} - \beta_e u^{1}) \\ u^1' = \gamma_e (-\beta_e u^{0} + u^{1}) \\ u^2' = u^{2}\\ u^3' = u^{3} \end{array}
En particulier on peut retrouver les lois v_x = \frac{v'_x + V_{ex}}{1 + \frac{V_{ex}v'_x}{c^2}} \qquad v_y = \frac{v'_y}{\gamma_e(1 + \frac{V_{ex}v'_x}{c^2})} \qquad v_z = \frac{v'_z}{\gamma_e(1 + \frac{V_{ex}v'x}{c^2})} et v_x' = \frac{v_x - V_{ex}}{1 - \frac{V_{ex}v_x}{c^2}} \qquad v_y' = \frac{v_y}{\gamma_e(1 - \frac{V_{ex}v_x}{c^2})} \qquad v_z' = \frac{v_z}{\gamma_e(1 - \frac{V_{ex}v_x}{c^2})} de transformation des vitesses.
