le principe fondamental de la dynamique s'écrit
M \frac{d\vec{V}}{dt}=e\vec{E}
M \frac{d\vec{V}}{dt}=e \vec{E}_0e^{-i(\omega t -kz)}
En toute rigueur il faudrait écrire la dérivée particulaire
\frac{d\vec{V}}{dt} = \frac{\partial \vec{V}}{\partial t} + (\vec{V}.\vec{\mbox{grad}}) \vec{V}
mais en régime sinusoïdal forcé par l'OPPM il reste
-iM\omega \vec{V} = e \vec{E}_0e^{-i(\omega t -kz)}
donc
\vec{V} =\frac{ie} {M\omega} \vec{E}
de même pour les électrons
\vec{v} =- \frac{ie} {m\omega} \vec{E}
et finalement la densité de courant vaut
\vec{j} =Ne\vec{V}-Ne\vec{v}
\vec{j} =\frac{iNe^2} {\omega} (\frac{1}{M}+\frac{1}{m}) \vec{E}
Les ions étant bien plus lourds que les électrons (au moins d'un facteur 2000) il vient
\vec{j} =i\epsilon _0 \frac{\omega _p ^2} {\omega} \vec{E}