$i\vec{k}\wedge \left(\frac{\vec{k}\wedge \vec{E}}{\omega }\right)={\mu }_{0}i{\epsilon }_0\frac{{\omega }_p^2}{\omega }\vec{E}-i\frac{\omega }{c^2}\vec{E}$

$k^2=\frac{{\omega }^2}{c^2}(1-\frac{{\omega }_p^2}{{\omega }^2})$

la relation de Maxwell-Faraday

$\overrightarrow{\text{rot}}\vec{E}=-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}$

se simplifie pour une OPPM en

$-i\vec{k}\wedge \vec{E}=-i\omega \vec{B}$

De même la relation de Maxwell-Ampère

$\overrightarrow{\text{rot}}\vec{B}={\mu }_0(\vec{j}+{\epsilon }_0\frac{\partial \vec{E}}{\partial t})$

donne

$i\vec{k}\wedge \left(\frac{\vec{k}\wedge \vec{E}}{\omega }\right)={\mu }_{0}i{\epsilon }_0\frac{{\omega }_p^2}{\omega }\vec{E}-i\frac{\omega }{c^2}\vec{E}$

$\left(\frac{\vec{k}.\vec{E}\vec{k}}{\omega }\right)-\frac{k^2}{\omega }\vec{E}=\frac{1}{c^2\omega }({\omega }_p^2-{\omega }^2)\vec{E}$

et, comme $\vec{k}.\vec{E}=0$

$k^2=\frac{{\omega }^2}{c^2}(1-\frac{{\omega }_p^2}{{\omega }^2})$

(relation de dispersion).