Du premier principe de conservation de l'énergie se déduisent les égalités :

et ,

soit et .

L'équation d'état d'un gaz parfait est .

Un gaz parfait est un gaz qui obéit aux deux lois de Joule :

• son énergie interne ne dépend que de la température :  ;

• son enthalpie ne dépend que de la température : .

En raison des lois de Joule, les écritures différentielles de l'énergie interne et de l'enthalpie sont nécessairement du type :

1/

2/

Par conséquent, et ne peuvent dépendre que d'un seul paramètre d'état, la température.

En raison de la définition de l'entropie, .

Par suite pour le gaz parfait,

Par intégration, il vient aisément et , où .

L'intégration de dS est également aisée dans la mesure où chaque dérivée partielle ne dépend que de sa variable de dérivation. Il vient les deux expressions équivalentes :

et

En utilisant la loi de Mayer et le coefficient de Laplace , les capacités thermiques peuvent être exprimées sous la forme :

;