Dans une fonctionnelle, la dépendance des variables peut être explicite ou implicite.

Ainsi la fonction de Lagrange dépend en général des grandeurs positions, vitesses et temps selon :

Dans ce formalisme, les positions et vitesses, décrivant le mouvement, sont considérées comme des variables indépendantes entre elles.

La variable "temps" est particulière par

• sa réalité physique : incontournable, elle s'égrène, mais surtout

• le mouvement a lieu pendant son écoulement : les variables du système en dépendent.

Ainsi pour toute fonctionnelle de ce type, l'évolution au cours du temps est décrit par une somme de variations.

Le total de ces variations ou dérivée totale au cours du temps se construit par les contributions additives suivantes :

La première contribution exprime une dépendance explicite et les deux suivantes, des dépendances implicites, via les variables généralisées et modulées par leurs propres dépendances.

• Ainsi dans la fonctionnelle, le temps est toujours présent, au moins implicitement.

Lors d'un mouvement, vitesses et positions varient en fonction du temps, qui s'écoule.

• Par contre la dépendance explicite est moins avérée ; elle est relative au système étudié.

En mécanique classique, sa présence aide à différentier deux classes de problèmes.

L'absence de la "variable" temps caractérise une propriété essentielle : la conservation de l'énergie mécanique totale. Les systèmes sont soumis à des forces conservatives.

Ce sont des systèmes fermés, conservatifs.

Ceci sera explicité et développé dans le Chap. V B.

En termes de variations, la dépendance explicite, décrite par la dérivée partielle, est une contribution directe et parmi d'autres, plus ou moins importantes.

• Ainsi une variable est "neutre" dans une fonction si elle n'apparaît pas explicitement.

En effet, les variations uniformes de cette variable soit ne produiront aucun effet soit auront un effet constant sur la variation de la fonction.

La variable devient alors "invisible" dans la fonction puisqu'elle ne produit pas d'effet (de variation) "remarquable et direct".

Et la notion d'invariance se met en place.

Ces outils mathématiques étant mis en place, deux autres images aident à mettre en place les concepts qui suivent.

1) Plus généralement en mécanique, la principale source de variation est l'interaction : elle permet le mouvement à partir d'un état statique.

L'absence d'interaction est un cas particulier de conservation de l'énergie mécanique totale, constituée alors uniquement par l'énergie cinétique. L'énergie potentielle n'apparaît plus dans la fonctionnelle "énergie mécanique".

L'absence d'interaction décrit également la particule libre, laquelle peut être en mouvement rectiligne uniforme.

2) Dans le cas d'un référentiel galiléen, le temps s'écoule de manière uniforme à l'infini, identique d'un référentiel galiléen à l'autre.

L'échelle de temps est invariante d'un référentiel à l'autre.

Elle ne peut constituer une source de variations en l'absence d'interaction.