Les transformations spéciales de Lorentz homogènes doivent laisser l'intervalle s_{12}^2 invariant, en conséquence de quoi les coefficients \alpha_k^i sont déterminés par la condition g'_{ij} = \alpha_i^k \alpha_j^l g_{kl} = g_{ij} :

g_{00} = \alpha_0^k \alpha_0^l g_{kl} soit 1 = (\alpha_0^0)^2 - (\alpha_0^1)^2

g_{11} = \alpha_1^k \alpha_1^l g_{kl} soit -1 = (\alpha_1^0)^2 - (\alpha_1^1)^2

g_{01} = \alpha_0^k \alpha_1^l g_{kl} soit 0 = \alpha_0^0\alpha_1^0 - \alpha_0^1\alpha_1^1

Après un passage à l'annexe A (si nécessaire), on peut voir que les conditions ci-dessus sont satisfaites si on pose :

\alpha_0^0 = \cosh \theta \qquad \alpha_0^1 = \sinh \theta

\alpha_1^0 = \sinh \Phi \qquad \alpha_1^1 = \cosh \Phi

\sinh (\Phi - \theta) = 0

L'unique solution de l'équation \sinh (\Phi - \theta) = 0 est : \Phi = \theta. La matrice des coefficients \alpha_k^i s'écrit donc :

\displaystyle{ \alpha = \left(\begin{array}{c c c c} \cosh \theta & \sinh \theta & 0 & 0 \\ \sinh \theta & \cosh \theta & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right)

Il reste à exprimer \theta en fonction de V_{ex}. Pour cela on considère les coordonnées du point o'.

Celles-ci sont nulles dans \mathcal{R}' et valent x = V_{ex}t (y = 0, z = 0) dans \mathcal{R}. Avec \displaystyle{\begin{array}{c c c} \cos \theta_{x't'} = \frac{\vec e_{x'}. \vec e_{t'}}{∥\vec e_{x'}\parallel ~\parallel\vec e_{t'}∥} = \frac{2\beta_e}{1 + \beta_e^2} & \cos \theta_{xx'} = \frac{\vec e_{x'}. \vec e_{t'}}{∥\vec e_{x'}\parallel~ \parallel\vec e_{t'}∥} = (1 + \beta_e^2)^{-\frac12} = \cos \theta_{tt'} \\ & \\ & \end{array} et \displaystyle{ \alpha = \left(\begin{array}{c c c c} \cosh \theta & \sinh \theta & 0 & 0 \\ \sinh \theta & \cosh \theta & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right)

on obtient :

\displaystyle{ \begin{array}{c c c} ct = ct' \cosh \theta & x = ct' \sinh \theta\\ & & \\ & & \end{array}

Leur rapport vaut :

\frac{x}{ct} = \frac{V_{ex}}{c} = \tanh \theta

Les relations entre fonctions hyperboliques donnent :

\displaystyle{ \begin{array}{c c c} \cosh \theta = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{V_{ex}^2}{c^2}}} = \gamma_e& \sinh \theta = \frac{V_{ex}/c}{\sqrt{1 - \frac{V_{ex}^2}{c^2}}} = \beta_e \gamma_e \\ & & \\ & & \end{array}