Suivre la procédure donnée dans l'énoncé.

1. L'application des transformations de Lorentz aux composantes du quadrivecteur force , avec et , donne :

   

   La transformation de Lorentz appliquée à la première composante du quadrivecteur vitesse fournit :

   

   

   En insérant cette expression dans les relations associées aux composantes du quadrivecteur force, on obtient les relations recherchées :

   

2. Détaillons d'abord la force de Lorentz dans les référentiels et , respectivement :

   et . Les composants sont :

   

   

   Si la charge est immobile dans alors dans on a : , . Les composantes ci-dessus s'écrivent donc :

   

   

   La comparaison des deux séries de composantes fournit :

   

   Si la charge est en mouvement dans la direction de dans alors dans on a : , , . Les composantes de la force de Lorentz s'écrivent donc :

   

   

   On compare les composantes en . En tenant compte du résultat obtenu à vitesse nulle, on a :

   

   Pour les composantes en , on a :

   

   

   Si la charge est en mouvement dans la direction de dans alors dans on a : , , . En procédant de la même manière, on obtient :

   

3. On calcule d'abord le carré du vecteur : .

   On traite ensuite séparément les parties réelles et imaginaires. À l'aide des formules obtenues à la question 2, on vérifie que :