Un même déplacement peut se faire pendant des durées différentes. Le rapport de la distance parcourue sur la durée mise pour la parcourir appelé vitesse moyenne peut caractériser cette différence. Il est plus intéressant de définir la vitesse instantanée (vitesse à un instant , celle par exemple qui apparaît sur le compteur de vitesse d'un véhicule) qui peut prendre des valeurs très différentes de celle de la vitesse moyenne.

La vitesse instantanée peut se définir comme une vitesse moyenne entre la position du point mobile à la date et la position de ce même point à la date où représente une durée très faible (voir figure 8). Cette vitesse moyenne tend d'autant plus vers la vitesse instantanée à la date que la durée tend vers zéro. Le vecteur position est une fonction du temps et la vitesse instantanée correspond alors à la dérivée par rapport au temps du vecteur position :

Figure 8 : Vecteur vitesse tangent à la trajectoire au point considéré.

Lorsqu'on considère une durée élémentaire « infiniment petite » le point mobile passe d'une position à une position « infiniment proche » de . Le déplacement élémentaire correspondant peut s'écrire : . La durée élémentaire est choisi suffisamment petite pour que la vitesse moyenne sur le déplacement élémentaire coïncide avec la vitesse instantanée. Avec ces notations, le vecteur vitesse , dérivée du vecteur position , s'écrit:

Lorsque le point tend vers le point , la corde tend vers la tangente à la trajectoire au point . Le vecteur vitesse est un vecteur tangent à la trajectoire au point considéré. En utilisant la définition du vecteur vitesse instantanée le déplacement élémentaire s'écrit :

Conclusion :

Le vecteur vitesse peut s'écrire comme la dérivée du vecteur position ou bien comme le rapport d'un déplacement élémentaire sur la durée élémentaire correspondante.

Unité : mètre/seconde symbole

Ce vecteur vitesse peut avoir différentes expressions suivant le système de coordonnées choisi pour étudier le mouvement du point dans un repère donné.