La base est constituée de vecteurs « fixes » dans le repère : leur direction, leur sens, leur norme ne changent pas au cours du temps. En utilisant l'expression du vecteur position en coordonnées cartésiennes (équation 1) et les règles de dérivation d'une somme de fonctions, on a :

Par convention et pour alléger les expression, la « dérivation d'une variable par rapport au temps » est notée par la variable surmontée d'un point pour la dérivée première, de 2 points pour la dérivée seconde etc...

Conclusion :

La valeur de la vitesse correspond à la norme de ce vecteur :

À partir des relations (10) et (11b) on a :

Le déplacement élémentaire en coordonnées cartésiennes correspond donc à un déplacement élémentaire suivant la direction puis un déplacement élémentaire suivant la direction (voir figure 9) et enfin un déplacement élémentaire suivant la direction .

Figure 9 : Déplacement élémentaire dans le plan en coordonnées cartésiennes