La base est constituée de vecteurs « mobiles » dans le repère : ces vecteurs changent de direction au cours du temps. En utilisant l'expression (2) du vecteur position en coordonnées polaires et les règles de dérivation d'un produit de fonctions, on a :

D'après l'expression (3c) le vecteur apparaît comme une fonction de la coordonnée angulaire elle-même fonction du temps au cours du mouvement du point . La dérivation d'une fonction composée permet d'écrire :

La quantité caractérise la variation de l'angle polaire au cours du temps et correspond à la définition de la vitesse angulaire. Elle est souvent notée (lettre grecque oméga) et s'exprime en radian/seconde .

L'application des règles de dérivation sur l'expression (3c) du vecteur donne :

D'après la relation (3d) on obtient finalement :

De même pour le vecteur   :

Règle de dérivation d'un vecteur unitaire par rapport à l'angle polaire :

La dérivée par rapport à l'angle polaire d'un vecteur unitaire (qui ne dépend que de l'angle ) est un vecteur unitaire qui lui est directement perpendiculaire (rotation de dans le sens positif).

D'après la relation (16) on a :

De même :

Règle de dérivation d'un vecteur unitaire par rapport au temps :

La dérivée par rapport au temps d'un vecteur de norme constante est un vecteur dont la norme est obtenue en multipliant celle de par la vitesse angulaire et qui est directement perpendiculaire à (rotation de dans le sens positif).

En reprenant l'expression (15) et en utilisant le résultat (18a) on a :

Les grandeurs et sont respectivement les composantes radiale et orthoradiale du vecteur vitesse dans la base polaire.

À partir des relations (10) et (19a) on a :

Figure 10 : Déplacement élémentaire dans le plan en coordonnées polaires

Un déplacement élémentaire quelconque à partir d'un point se décompose donc en un déplacement radial suivant et un déplacement orthoradial suivant .