En mécanique quantique, on étudie typiquement la probabilité de présence d'une particule entre et . La densité de probabilité de présence est calculée en représentation par :

avec vecteur d'onde complexe et , ayant un sens physique.

De façon plus formelle on introduit un vecteur d'onde abstrait (indépendant de la représentation) qui peut par exemple décrire plusieurs particules simultanément.

Par exemple pour deux particules 1 et 2 la fonction d'onde permettant de calculer la probabilité de trouver la particule 1 en et en même temps la particule 2 en n'est pas forcément un produit des fonctions d'ondes individuelles : il peut y avoir corrélation ou anticorrélation des particules, qui ne sont pas forcément indépendantes, a fortiori s'il existe une interaction entre celles-ci, comme l'interaction coulombienne entre électrons :

On comprend donc que cet aspect quantique va modifier la façon de compter le poids de chaque configuration en physique statistique.

Ainsi ces deux particules peuvent-être soit :

• différentes ( par exemple un électron et un proton, ...) on pourra utiliser les statistiques de Boltzmann telles que vues dans les chapitres précédents,

• identiques (par exemple : deux électrons).

  Dans ce cas, il y a deux possibilités, soit les particules sont:

  • discernables, comme par exemple des boules de loto numérotées, ou deux électrons nettement séparés (à distance suffisamment grande pour que leurs fonctions d'onde ne se recouvrent pas en pratique)

  • indiscernables; comme par exemple deux électrons suffisamment proches à l'instant initial pour qu leurs fonctions d'onde se recouvrent, et donc qu'on ne puisse savoir lequel est lequel.

On introduit l'opérateur permutation des deux électrons, sous l'effet duquel la densité de probabilité de présence ne doit pas changer si les particules sont indiscernables.

Pour la fonction d'onde cela donne donc ou car en appliquant deux fois l'opérateur on doit retrouver la situation initiale .

Le signe « - » définit les fermions et « + » les bosons.