Machines thermiques - Efficacité et rendement d'une machine thermique fonctionnant au gaz carbonique

Machines thermiques

Efficacité et rendement d'une machine thermique fonctionnant au gaz carbonique

Énoncé

On considère une mole de gaz carbonique à la température dans un volume litre, et sous une pression (état A). Cette mole subit une détente diabatique réversible jusqu'à un état B où son volume vaut , et sa température est . Le gaz subit ensuite une compression isotherme réversible qui l'amène à la pression initiale (état C). Le gaz est ensuite réchauffé jusqu'à la température à pression constante.

Tracer l'allure du cycle suivi par le gaz dans le diagramme de Clapeyron.
S'agit-il d'un cycle moteur ?
Calculer la pression initiale et la température de la source froide.
Calculer les quantités de chaleur reçues par le gaz au cours des trois transformations AB, BC et CA.
Établir le bilan entropique. Commenter le résultat.
Calculer le travail mécanique fourni au gaz au cours du cycle. Calculer l'efficacité de cette machine, et évaluer son rendement en comparant cette efficacité à celle du cycle de Carnot fonctionnant entre les mêmes températures et .

Données :

la constante des gaz parfaits est
le gaz carbonique est assimilé à un gaz parfait pour lequel

Aide simple

Solution détaillée

Figure 1

Voir pour le tracé la figure 1. Le cycle est parcouru dans le sens horaire. L'intégrale est donc négative. Le système fournit un travail et le cycle est moteur.
La pression se calcule à l'aide de la loi des gaz parfaits : pascals, soit .
La transformation entre les états A et B est une détente adiabatique, au cours de laquelle la quantité est constante, donc .
On en déduit .
Numériquement : .
La transformation entre et est une détente adiabatique, donc .
La transformation entre et est une compression isotherme que l'on peut considérer quasi-statique. Donc, l'énergie interne du gaz est conservée et la pression extérieure agissante est à tout instant celle du gaz : infinitésimalement , et

Le rapport des volumes est pour l'instant indéterminé. Mais puisque la compression est isotherme, d'où . Par ailleurs, , donc . Finalement .
Numériquement, .
De à , le gaz est réchauffé à pression constante et la chaleur fournie au gaz vaut

En se souvenant que et , on obtient .
Ainsi, .
La transformation entre et est adiabatique et réversible donc isentropique :

Pendant la compression isotherme , donc et après intégration,

Numériquement, .
Au cours du réchauffement isobare, on a .
Donc, après intégration,

Numériquement, .
La variation totale d'entropie sur le cycle vaut et doit être nulle car l'entropie est une fonction d'état. Avec les valeurs obtenues, on vérifie effectivement .
Sur un cycle, la variation d'énergie interne du gaz est nulle donc . Ici, . Le cycle produit donc du travail. L'efficacité de cette machine est quantifié par la rapport entre travail généré et énergie dépensée sous forme de chaleur fournie au gaz :

Numériquement, .
Le rendement de cette machine s'évalue en comparant son efficacité à l'efficacité maximale du cycle de Carnot . Ainsi,

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