Machines thermiques - Cycle de Carnot idéal inverse

Machines thermiques

Cycle de Carnot idéal inverse

Énoncé

Une machine ditherme fonctionne suivant un cycle de Carnot inverse (par rapport au sens moteur) et fonctionne entre les températures et des sources chaudes et froides.

Rappeler les transformations qui constituent un cycle de Carnot.
Tracer schématiquement ce cycle dans un diagramme et . Indiquer les températures et le sens de parcours du cycle.
Sachant que de la chaleur est toujours prélevée de la source froide et donnée à la source chaude, localiser les sources chaudes et froides dans le cas : (i) d'un fonctionnement en réfrigérateur, (ii) d'un fonctionnement en pompe à chaleur (on considèrera des cas réalistes inspirés par les valeurs données pour l'application numérique).
Donner la définition des efficacités et de cette machine en modes respectivement réfrigérateur et pompe à chaleur. Quelles sont leurs expressions en fonction des quantités de chaleur échangées ?
En écrivant l'expression de la variation d'entropie sur un cycle réversible, donner l'expression de et en fonction des températures. Faire l'application numérique et commenter le résultat.

Pour l'application numérique, et .

Aide simple

Solution détaillée

Un cycle de Carnot est un cycle réversible constitué de deux portions d'adiabatiques et de deux portions d'isothermes de températures égales aux températures des sources.
Cf figure 1 ci-dessous. Le cycle est parcouru dans les deux diagrammes dans le sens trigonométrique. Ceci implique que l'intégrale est positive (égale à l'aire du cycle dans ), et l'intégrale est négative (égale à l'opposé de l'aire du cycle dans ). On remarque que le système reçoit effectivement le travail sur un cycle.
On a toujours et .
Si on considère le cas d'un fonctionnement en réfrigérateur, la source froide est le volume maintenu à la température basse en cédant la quantité de chaleur au système, et la source chaude est le local contenant le réfrigérateur et à la température .
Si on considère le cas d'un fonctionnement en pompe à chaleur, la source froide est par exemple l'extérieur d'une habitation à la température (extérieure) (thermostat), et la source chaude est l'habitation maintenue à une température de confort de en recevant la quantité de chaleur du système.
L'efficacité d'une machine thermique est définie comme le rapport entre le transfert utile suivant la vocation de la machine et le transfert d'énergie dépensé pour la faire fonctionner. Les efficacités et sont donc définies par

Or, sur un cycle, le bilan énergétique s'écrit : , soit . Les efficacités s'écrivent donc
Dans le cas de transformations réversibles, la variation d'entropie du système (fermé) s'écrit . Puisque l'on considère un cycle et que l'entropie est une fonction d'état, on écrit sur le cycle , soit . En reportant l'expression du rapport des quantités de chaleur dans l'expression des efficacités, on obtient :

Ainsi, l'efficacité de la machine varie à l'inverse de la différence des températures entre les sources chaude et froide. D'où l'intérêt, dans le cas de l'utilisation en pompe à chaleur pour le chauffage d'une habitation, de l'utilisation d'une source géothermique à température moyenne et constante. L'efficacité en mode pompe à chaleur est plus élevée que dans le mode réfrigérateur.
Numériquement, , et .

Figure 1