Le point de départ est le positionnement de tout point au cours du temps.

Ce repérage est noté :

Les référentiels sont précisés en indice.

Ceci pour indiquer la base dans laquelle est exprimé le vecteur et par conséquent, ne pas oublier les contributions particulières.

La dérivation par rapport au temps des deux membres de l'égalité produit

• pour le membre gauche, exprimé dans le repère fixe :

• puis, dans le membre de droite, pour celui décrivant le centre mobile :

Ces deux expressions sont exprimées dans le référentiel fixe .

• Finalement, pour le dernier terme du membre de droite , exprimé dans le référentiel mobile, , sa dérivée comporte deux contributions :

Le premier terme provient des dérivées directes des composantes de : il produit une vitesse relative directement exprimé dans le référentiel mobile.

Le second terme est issu de la dérivée des vecteurs de la base mobile. Il tient compte des rotations du référentiel mobile.

Sachant que la dérivée temporelle d'un vecteur unitaire est, à la vitesse de rotation près, un vecteur unitaire orthogonal au vecteur unitaire dérivé, ils s'écrivent sous la forme :

Le vecteur vitesse angulaire est exprimé dans le référentiel mobile.

En toute généralité il s'écrit :

Finalement, les deux contributions issues de peuvent être résumées :

En résumé, la mesure de vitesse dans le référentiel fixe est la composition des deux termes suivants :

La vitesse d'entraînement regroupe la vitesse de translation du centre et les rotations dans le repère mobile, deux contributions regroupées entre crochets.

La vitesse relative est la vitesse que mesurerait un observateur du référentiel mobile : donc qui ne sent, ne voit aucun entraînement.