Physique des ondes - Onde dans une corde ; relation de dispersion et vitesse de phase.

Physique des ondes

Onde dans une corde ; relation de dispersion et vitesse de phase.

Énoncé

Une corde homogène et inextensible de masse linéique est tendue horizontalement avec une tension constante . Déplacée de sa position d'équilibre, la corde acquiert un mouvement décrit par le déplacement quasi-vertical , mesuré à partir de la position d'équilibre. À l'instant , la tension , exercée par la partie de la corde à droite d'un point d'abscisse sur la partie gauche de la corde à gauche de , fait un petit angle par rapport à l'horizontale (voir Figure 1). On négligera les effets de la force de pesanteur et des forces de frottements devant celui de la force de tension.

schéma représentant la corde à l'équilibre et en mouvement

En considérant un tronçon infinitésimal de la corde compris entre et , montrer que
Montrer que le déplacement transversal obéit à l'équation d'onde :

Exprimer c en fonction de et .
La corde semi-infinie est le siège de la propagation d'une onde progressive sinusoïdale, de pulsation , se déplaçant dans le sens des croissants telle que :
.
3.a) En vérifiant que cette onde est effectivement solution de l'équation d'onde, donner l'expression de la relation de dispersion et de la vitesse de phase.
3.b) Calculer numériquement la vitesse de phase avec et .

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Rappel de cours

Solution rapide

Solution détaillée

schéma d'un tronçon de la corde avec bilan des forces

Voir figure 2.
En appliquant le principe fondamental de la dynamique sur le tronçon, il vient :

Après projection sur l'axe horizontal , on obtient :

Le mouvement de la corde étant quasi-vertical, l'accélération selon est quasi-nulle :
, alors
De plus, les angles étant petit ( ) :
Donc, la projection sur des vecteurs tensions est environ égale à leur norme
Finalement :
Voir figure 2.
En appliquant le principe fondamental de la dynamique sur le tronçon, il vient :

Après projection sur l'axe et étant le déplacement vertical de la corde, on obtient :

Soit :

Avec (voir question 1), et , on obtient :
Or, la masse linéique s'exprime , d'où :

Finalement : avec
Vérifions qu'une solution réelle de cette équation d'onde est de la forme :
où est appelé nombre d'onde.
3.a) En dérivant deux fois par rapport au temps :

En dérivant deux fois par rapport à :

En remplaçant dans l'équation d'onde, il vient :

Alors, est solution de l'équation d'onde à la condition que : c'est la relation de dispersion.
Ici, la corde est semi-infinie, il n'y a donc pas de réflexion. L'onde se propage seulement dans le sens des croissants. Le terme de la phase ( ) traduit alors forcement un retard (on récupère l'onde au bout de la corde forcement après qu'elle ait été émise puisque qu'elle parcourt le chemin entre la source et le récepteur à vitesse non infinie). doit être négatif, soit . Dans ce cas, la condition devient unique : .
Finalement, la célérité c est aussi appelée vitesse de phase , d'où .
Remarques :
- il n'y a pas de déplacement de matière selon (mouvement quasi-vertical), donc représente la vitesse de déplacement d'une d'onde( pas de matière).
- Dans un milieu non dispersif (c'est le cas ici), ne dépend que du milieu (représenté par et ), pas d'onde (représentée par et ) i.e la vitesse de propagation d'une onde est constante quelque soit sa longueur d'onde.
3.b) A.N :

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