Physique des ondes
Onde dans une corde ; relation de dispersion et vitesse de phase.

Énoncé

Une corde homogène et inextensible de masse linéique est tendue horizontalement avec une tension constante . Déplacée de sa position d'équilibre, la corde acquiert un mouvement décrit par le déplacement quasi-vertical , mesuré à partir de la position d'équilibre. À l'instant , la tension , exercée par la partie de la corde à droite d'un point d'abscisse sur la partie gauche de la corde à gauche de , fait un petit angle par rapport à l'horizontale (voir Figure 1). On négligera les effets de la force de pesanteur et des forces de frottements devant celui de la force de tension.

schéma représentant la corde à l'équilibre et en mouvement
  1. En considérant un tronçon infinitésimal de la corde compris entre et , montrer que

  2. Montrer que le déplacement transversal obéit à l'équation d'onde :

    Exprimer c en fonction de et .

  3. La corde semi-infinie est le siège de la propagation d'une onde progressive sinusoïdale, de pulsation , se déplaçant dans le sens des croissants telle que :

    .

    3.a) En vérifiant que cette onde est effectivement solution de l'équation d'onde, donner l'expression de la relation de dispersion et de la vitesse de phase.

    3.b) Calculer numériquement la vitesse de phase avec et .

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