Énoncé
Une onde transversale se propage dans une corde de longueur finie
. L'onde est émise et entretenue par un vibreur sinusoïdal situé en
. Le déplacement transversal associé à cette onde incidente à l'abscisse
et à l'instant
peut s'écrire, en notation réelle, sous la forme
et est solution de l'équation d'onde
à la condition que
(relation de dispersion pour que
, voir exercice de référence). On considère ici que l'amplitude du vibreur est négligeable si bien que le déplacement transversal est nulle en
. L'extrémité
est attachée à un support fixe.
La corde étant fixe, le coefficient de réflexion
en amplitude à l'abscisse
est égal à -1.
a) En justifiant votre réponse, donner le déplacement transversal
associé à l'onde réfléchie en fonction de
,
.
b) En déduire que le déplacement transversal de l'onde résultante qui s'est établie dans la corde s'écrit sous la forme
. Justifier le nom d'onde stationnaire et ses conditions de survie.
À partir du résultat de la question 1.b), déterminer les fréquences propres
de l'onde stationnaire en fonction d'un entier naturel strictement positif
, de la vitesse
et de la longueur
de la corde. En déduire la relation qui lie la longueur
de la corde à la longueur d'onde
.
Expliquer le phénomène de résonance et donner sa condition d'existence.
Sans faire de calculs, expliquer quelle est théoriquement l'amplitude du déplacement transversal à la résonance.
Qu'en est-il en réalité ? Si elle est différente, pourquoi ?