Physique des ondes
Propagation d'une onde acoustique dans un fluide homogène.

Énoncé

Un tuyau cylindrique de longueur infinie et de section constante , contient un fluide qui, au repos, est à la pression , à la température et à une masse volumique .

On considère une tranche de fluide qui, au repos, est située entre les abscisses et . Le passage de l'onde acoustique s'accompagne d'un déplacement d'ensemble des molécules contenues dans le plan d'abscisse . Soit ce déplacement à l'instant . La tranche de fluide considérée se trouve ainsi à l'instant entre les plans d'abscisse et (voir figure 1).

schéma représentant la tranche de fluide au repos et à l'instant t

On notera :

  • , la vitesse de déplacement de la section d'abscisse à l'instant

  • , la surpression acoustique liée au passage de l'onde en à l'instant . Ainsi la pression s'écrira

  • , la masse volumique du fluide à l'abscisse à l'instant .

On se limitera aux mouvements de faibles amplitudes : le déplacement particulaire , la surpression acoustique , la variation de la masse volumique et leurs dérivées peuvent être considérés comme des infiniments petits du premier ordre (on négligera dans la suite tous les infiniments petits d'ordre supérieur ou égal à deux). On négligera l'action de la pesanteur ainsi que toute viscosité ou frottements.

  1. En raisonnant sur la tranche de fluide considérée et en précisant la loi utilisée, retrouver l'équation :

  2. En supposant que l'évolution de la portion de fluide est isentropique, le coefficient de compressibilité isentropique d'un fluide est défini par :

    est le volume du fluide et sa pression.

    Pour le fluide contenu dans le tuyau cylindrique, on supposera que est une constante.

    Montrer que l'on peut écrire : .

  3. a) En utilisant les résultats des questions 1) et 2), établir l'équation d'onde à laquelle satisfait la grandeur . Exprimer (vitesse du son) en fonction de et .

    b) Montrer que les grandeurs et satisfont à la même équation de propagation que .

  4. Le fluide est de l'air considéré comme un gaz parfait :

    • de (rapport des capacités calorifiques molaires à pression et à volume constants)

    • de masse molaire

    • de température

    avec (constante molaire des gaz parfaits).

    Donner l'expression de en fonction de , , et .

    Application numérique : calculer dans l'air.

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