Relativité restreinte (1) - Le paradoxe des jumeaux.

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Relativité restreinte (1)

Le paradoxe des jumeaux.

Énoncé

Présentation du paradoxe. Le jour de leur 21^ème anniversaire, Jekyll quitte son jumeau Hyde qui demeure à Terre. A bord d'une fusée dont la vitesse est égale à , Jekyll voyage en maintenant le cap sur Sirius, pendant 7 ans de son temps. A ce moment, il change de direction, rebrousse chemin et, au bout de 7 autres années, il revient sur Terre. Pendant le voyage, Hyde voit retarder les horloges de Jekyll et pense que ce dernier vieillit moins vite que lui. Le paradoxe apparaît quant on se demande ce que pense Jekyll. Lui, il voit Hyde resté sur Terre vieillir moins vite que lui, et quand il revient sur Terre, il pense que son jumeau Hyde est le plus jeune.
1. Les conclusions des jumeaux sont tout à fait réciproques, c'est-à-dire qu'on ne peut dire quel est celui qui est resté immobile. Dans quel cas ceci est vrai ?
2. En réalité la conclusion de Hyde est incorrecte à cause d'une faute de raisonnement commise sur sa description du voyage. Les descriptions du voyage par les deux jumeaux doivent donc être différentes. Comment la différence se manifeste-t-elle ?
Solution en termes de dilatation du temps. Modifions, pour simplifier, le déroulement du voyage. On suppose maintenant qu'il y a deux fusées, l'une s'éloignant toujours de la Terre à la vitesse , l'autre retournant vers la Terre à la même vitesse .
Jekyll effectue son voyage en sautant sur celle qui quitte la Terre, en changeant de fusée à la fin du voyage aller et en sautant de la deuxième quand elle atteint la Terre. Nous avons maintenant 3 observateurs dont les référentiels sont toujours galiléens : le jumeau resté sur Terre et les pilotes des deux fusées. On note la durée totale du voyage mesurée sur Terre par Hyde.
1. Analyser et déterminer les temps de l'aller, de retour et total du voyage mesurés respectivement par les deux pilotes.
2. Pour éviter tout risque d'erreur, supposons maintenant que Jekyll n'a pas de montre, mais il calcule la durée de son voyage en interrogeant les pilotes des fusées. Il saute dans la première et, juste avant de la quitter, il demande au pilote combien a duré le trajet aller. De la même façon, après le retour, il demande au pilote combien de temps il est resté à bord. Déterminer ces temps et en déduire la durée du voyage complet.
3. Déterminer l'âge de chacun des jumeaux au moment de leur réunion.

Solution détaillée

1. Pour obtenir des conclusions réciproques, il faut que le mouvement relatif soit rectiligne et uniforme à tout moment.
2. le principe de relativité qui implique des conclusions réciproques ne peut être appliqué dans le cas présent. En effet dans son voyage en fusée aller-retour, Jekyll subit accélération et décélération qui lui permettent de changer le sens de sa trajectoire. Au cours de son voyage, Jekyll est lié à deux référentiels inertiels différents, alors que Hyde reste lié à un seul référentiel (supposé) inertiel (la Terre).
1. On peut raisonner à l'aide de la formule qui exprime la dilatation des durées : .
  Pour le voyage aller et retour, Hyde mesure dans son référentiel une durée propre (événements localisés, une horloge). Il associera au voyage aller une durée impropre, égale à , et au voyage retour, la même durée impropre, égale à .
  Pour le voyage aller, le pilote de la première fusée mesure une durée propre (événements localisés, une horloge)
  qui est reliée à la durée mesurée sur Terre par la relation : . Pour lui, la durée totale du voyage sera estimée à l'aide de la mesure propre de Hyde, à savoir .
  Il peut conclure que le voyage retour s'est effectué avec une durée impropre qui est obtenue à partir de la relation .
  De même, Pour le voyage retour, le pilote de la seconde fusée mesure une durée propre (événements localisés, une horloge) qui est reliée à la durée mesurée sur Terre par la relation : .
  Pour lui aussi, la durée totale du voyage sera estimée à l'aide de la mesure propre de Hyde, à savoir .
  Il peut conclure que le voyage aller s'est effectué avec une durée impropre qui est obtenue à partir de la relation .
2. Pour le voyageur Jekyll, il obtiendra du premier pilote l'information suivante :
  Et du second pilote l'information suivante :
  
  Jekyll pourra conclure que la durée totale de son voyage donnée par la relation :
  
  Dans l'énoncé on indique que . Donc .
3. Le voyageur Jekyll aura 21 + 14 = 35 ans. Hyde, resté sur Terre aura
  .