Soit n expériences donnant un résultat « oui »
ou « non »
avec la probabilité p.
Exemple :
Considérons n lancers de dé. On veut compter le nombre de 1 avec 
par exemple.
soit 
la probabilité d'avoir k succès de probabilité 
(« oui »
) ET 
échecs de probabilité. L'ordre de ces succès n'a pas d'influence sur le résultat puisque l'addition est commutative ; on peut par exemple avoir un « 1 »
sur le premier jet OU sur le dernier pour la même somme.
La probabilité composée (avec un 'ET') est le produit des probabilités de chaque événement s'ils sont indépendants (pour avoir k succès sur n lancers indépendants).
Dans le cas d'un 'OU' cette probabilité est la somme des probabilités de chaque événement : on regroupe les différentes possibilités par le facteur :
nombre de combinaisons = nombre de façons d'avoir k succès pour n essais sans tenir compte de l'ordre.
Finalement en multipliant les éléments du « et »
( succès au premier ET au deuxième essai par exemple) et en additionnant les éléments du « ou »
(succès au premier ET au deuxième essai OU au deuxième et au troisième OU au premier et au dernier...etc)
Cette distribution est dite binômiale car elle rappelle le développement de 
.
Complément : (exercice)
Calculer l'espérance 
de cette distribution.
en utilisant la formule du binôme :
en remarquant donc que :
on obtient (formule à retenir pour la suite) :
Calculons désormais à titre d'exercice :
On pose 
et 
.
et avec un raisonnement similaire on obtient :
La variance vaut donc :
