Le nucléide Y est soumis à deux processus :

• D'une part, il se désintègre vers le nucléide Z avec une probabilité par unité de temps. Cela donne le premier terme de l'équation différentielle ci-dessous, de signe négatif (car il conduit à une diminution de ).

• D'autre part, il est produit par le nucléide X avec une probabilité par unité de temps. Cela donne le deuxième terme de l'équation différentielle, de signe positif (car il conduit à une augmentation de ). Il se forme par unité de temps un nombre de noyaux Y égal au nombre de noyaux X qui ont disparu, soit .

On obtient donc l'équation différentielle régissant l'évolution de dans le temps :

On remplace par son expression en fonction du temps et on obtient :

Nous allons résoudre cette équation différentielle par la méthode conventionnelle dite de « variation de la constante ». Pour ceux qui le souhaitent, une méthode de résolution plus ingénieuse et plus rapide est également proposée.