Mécanique III - Théories de Lagrange et d'Hamilton - Particule dans un champs magnétique

Mécanique III - Théories de Lagrange et d'Hamilton

Particule dans un champs magnétique

Énoncé

Une charge électrique de masse et de charge est plongée dans un champ électromagnétique que l'on décrit par le potentiel scalaire et par le potentiel . On suppose ici que et ne dépendent pas du temps.

Si l'on néglige la force de gravitation, la dynamique de la particule est décrite par le Lagrangien suivant

Calculer l'impulsion et montrer qu'elle diffère de la quantité de mouvement.
Déterminer le Hamiltonien et les équations de Hamilton dans un un repère cartésien.
Montrer enfin que les équations de Hamilton sont identiques aux équations de Newton avec la force de Lorentz .

Aide simple

Solution détaillée

L'impulsion est obtenue à partir du Lagrangien en le dérivant par rapport à la vitesse. Pour cela, on introduit une base cartésienne dans laquelle on décompose le vecteur position , le vecteur vitesse , le potentiel vecteur et le vecteur impulsion .
On obtient les composantes de l'impulsion en dérivant le Lagrangien par rapport à chaque composante de la vitesse.
Ainsi pour la composante sur , on obtient :
,
les autres composantes s'obtiennent de manière analogue, si bien que finalement
.
On voit dans cette exemple que l'impulsion n'est pas égale à la quantité de mouvement , c'est une conséquence de la dépendance du potentiel en la vitesse.
Le Hamiltonien se déduit du Lagrangien :
.
On remarque que le Hamiltonien, qui représente l'énergie, ne dépend pas du potentiel vecteur. Cela implique que le champs magnétique n'intervient pas dans l'énergie du système. Or, il est bien connu que la force magnétique , étant perpendiculaire à la vitesse ne travaille pas et donc ne fait pas varier l'énergie. On retrouve ici ce résultat classique.
En utilisant l'expression de l'impulsion, l'Hamiltonien s'écrit aussi :
.
Les premières équations de Hamilton nous redonnent la relation entre impulsion et vitesse

Quant aux secondes :

elles peuvent s'écrire sous la forme :
Pour retrouver les équations de Newton, il faut remplacer $\overrightarrow{p}$ des secondes équations par sont expression issue des premières ainsi :
.
soit en remarquant où on obtient les équations projetées. On donne ici l'équation déterminant la composant

On reconnaît dans le premier terme du membre de droite la composante suivant du champ électrique : ( ).
Le second terme a pour expression :

que l'on peut mettre sous forme :

Le champs magnétique, définit par la relation : , a pour composante

Ainsi :
.
Les calculs des autres composantes se déduit par permutation circulaire des indices et l'on retrouve effectivement la loi de Newton avec la force de Lorentz :
.