Mécanique III - Théories de Lagrange et d'Hamilton

Bâton de majorette

Énoncé

Deux masses ponctuelles identiques sont placées aux extrémités d'une tige rigide de longueur et de masse négligeable. Initialement, la tige est maintenue verticale, une extrémité touchant le sol. La tige est maintenant lâchée sans vitesse initiale et l'on suppose que l'extrémité glisse parfaitement sur le sol.

Donner le nombre de degrés de liberté du système.
Déterminer le Lagrangien du système; en déduire le Hamiltonien.
En déduire quatre intégrales premières du mouvement et les interpréter physiquement.
Exprimer la vitesse de l'extrémité supérieure lorsqu'elle touche le sol.

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Aide détaillée

Rappel de cours

Solution rapide

Solution détaillée

Le système est composé de 2 points matériels évoluant dans l'espace et possédant 2 contraintes géométriques: la masse inférieure est assujettie à se déplacer dans le plan et la masse supérieur doit rester à distance fixe de la masse inférieure. Les 2 points matérielles ont chacun degrés de liberté soit au total, en soustrayant les deux contraintes, on obtient degrés de liberté.
La paramétrisation du système est décrite sur la figure 1. Les variables sont les coordonnées cartésiennes du centre de gravité . Les angles caractérisent l'orientation de la barre dans l'espace: est l'angle entre la projection de la barre dans le plan et l'axe , est l'angle entre la barre et le plan .
Une extrémité de la barre étant constamment dans le plan , la variable ne dépend de et l'on a .
Les deux masses étant égales, est au milieu de la barre. Les quatre coordonnées généralisées sont donc .
On obtient aisément l'énergie potentiel
.
Pour le calcul de l'énergie cinétique, il faut procéder au calcul préalable des vitesses et des masses et

On commence donc par déterminer les vecteurs positions en passant par le centre de gravité:

en notant que On peut maintenant déterminer les vecteurs vitesses:

et

avec et que l'on calculera ultérieurement.
Dès lors, il vient pour l'énergie cinétique

L'énergie cinétique est composée de deux termes, le premier caractérise l'énergie cinétique du centre de masse et l'autre l'énergie cinétique de rotation de la barre.
En calculant maintenant les vecteurs vitesses:

on obtient

Soit pour le Lagrangien

On détermine ensuite les impulsions généralisées

puis l'Hamiltonien

Il reste enfin à introduire les impulsions généralisées dans le hamiltonien.
Les variables , , et sont cycliques, les trois impulsions correspondantes sont donc des constantes du mouvement.
Les impulsions et correspondent aux projections de l'impulsion du centre de masse dans le plan horizontal, il est logique de les retrouver comme constante du mouvement puisque les seules forces extérieures agissant sur le système (les poids et la réaction normale du support) alignées suivant la verticale ne peuvent faire varier l'impulsion horizontale.
L'impulsion est liée à la projection du moment cinétique dans la direction verticale. Encore une fois, les forces extérieures étant alignées suivant la verticale, leurs moments suivant l'axe sont nuls et il ne peut donc y avoir de variation du moment cinétique dans cette direction.
Enfin, si l'on ajoute l'hamiltonien qui représente l'énergie mécanique, on obtient les quatre intégrales premières du mouvement.
Si à l'instant initial, la barre est verticale et qu'elle est lâchée sans vitesse alors , et p_ et l'énergie mécanique vaut .
Lorsque la barre arrive dans le plan horizontal ( ) la vitesse de l'extrémité est telle que

soit encore

La vitesse de l'extrémité supérieur vaut donc .

Fin