Mécanique III - Théories de Lagrange et d'Hamilton
Changement de variable canonique

Énoncé

  1. Déterminer, en utilisant les crochets de Poisson, une condition sur les paramètres et pour que le changement de variable

    soit canonique (voir rappel de cours).

  2. Montrer qu'un oscillateur harmonique de masse et de raideur décrit par le hamiltonien

    peut aussi être décrit par un Hamiltonien

    en utilisant la transformation canonique de la question précédente. Préciser la valeur des paramètres et .

  3. Montrer qu'en renormalisant le temps ce même système peut être caractérisé par un nouveau hamiltonien

    .

    Indiquer alors la relation entre le temps vrai et le temps renormalisé . Donner la nature des trajectoires dans l'espace des phases.

  4. On souhaite faire un nouveau changement de variable afin d'exploiter au mieux la conservation de l'énergie, on pose alors

    ,

    montrer que ce changement de variable est canonique. Déterminer les équations de Hamilton à l'aide des variables et et les résoudre. Interpréter géométriquement ces nouvelles variables dans l'espace des phases .

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