Dans ce cours, nous allons voir comment Maxwell, en proposant un formalisme unifié de l'électrostatique et de la magnéto-statique, a établi un système d'équations corrigé qui lui a permis de prédire l'existence des ondes électromagnétiques et d'expliquer la nature de la lumière. Ceci a transformé profondément le monde : permettant de concevoir des machines électriques utilisables, des appareils de communication utilisant les ondes radio (TV, téléphone portable...). L'étude approfondie des équations de Maxwell a permis d'autre part l'apparition de la théorie de la relativité qui a bouleversé la physique au XXème siècle.
Le passage de la théorie intégrale de l'électrostatique et de la magnéto-statique telle que vous la connaissez du cours de première année (théorèmes de Gauss et d'Ampère par exemple) nécessite cependant l'introduction de quelques notions mathématiques. Nous verrons que ce formalisme permet d'exprimer sur le même pied électrostatique, magnéto-statique, et induction, et pour assurer la cohérence du système d'équations obtenu amène à introduire le terme correctif qui permit la prédiction des ondes électromagnétiques qui fut ensuite, une trentaine d'années après, confirmée expérimentalement par Hertz en 1882.
En effet, historiquement, l'électrostatique était connue depuis l'époque antique ("Elektron" signifie laine en grec) et avait été formulée quantitativement par Coulomb au dix-huitième siècle en s'inspirant des travaux antérieurs de Newton sur la gravitation qui se présente avec des équations similaires en carré de la distance. La magnéto-statique semble être arrivée en Europe à la fin du Moyen-Âge en s'inspirant des travaux des Chinois sur les boussoles faites d'aimants naturels, et a été formulée quantitativement par Biot, Savart et Ampère après que Oersted eut montré dans sa célèbre expérience d'action d'une pile sur une boussole que les distributions de courants pouvaient créer des champs magnétiques à l'instar des aimants. Ceci a contrario a amené Faraday à montrer qu'une variation de champ magnétique pouvait également induire un courant. Toutes ces théories étaient formulées en coordonnées cartésiennes avec des formalismes différents, ce qui donnait une bonne quinzaine d'équations absolument illisibles. Nous allons voir comment une formulation opératorielle de la théorie des champs classiques simplifie ce formalisme et permet la prédiction de l'existence des ondes électromagnétiques.
Cette façon d'unifier des théories en apparence non reliées et d'obtenir des prédictions surprenantes a ensuite été le modèle de la science du vingtième siècle, donnant par exemple l'électrodynamique quantique, unification de la mécanique quantique et de l'électromagnétisme avec des aspects de relativité restreinte, la théorie électrofaible unification de l'électrodynamique quantique et de la théorie de l'interaction faible dans les noyaux, et enfin le modèle standard unification avec l'interaction forte. Une "grande unification" ou théorie du tout (unification avec la relativité générale et la gravitation) est encore en cours de développement au moment où ces lignes sont écrites (2008) malgré des pistes prometteuses.
En physique, vous n'avez surtout rencontré jusqu'à présent que des objets représentés par un nombre fini de grandeurs scalaires réelles : par exemple les trois coordonnées spatiales d'un mobile, pouvant certes prendre une infinité de valeurs, mais en nombre fini.
Dans ce cours, nous allons travailler sur des objets appelés des champs, consistant en un ou plusieurs scalaires dépendant de coordonnées spatiales. S'il n'y a qu'un réel dépendant de l'espace on parlera d'un champ scalaire ; si on considère un triplet de réels dépendant de la position, on parlera d'un champ vectoriel. Pour ce qui nous concerne, ces champs seront typiquement le potentiel et le champ électrique, ou le champ magnétique, mais ces concepts sont universellement employés en physique.
Par exemple, en mécanique des fluides, formellement assez proche de l'électromagnétisme, on étudie les variations spatiales du champ de pression, de vitesse du fluide, voire de sa température comme en météorologie par exemple.
Par la suite, comme ce cours est avant tout un cours de physique, sauf si cela est expressément précisé, nous allons supposer que les champs sont suffisamment réguliers pour pouvoir être intégrés ou dérivés par rapport aux coordonnées spatiales et temporelles comme cela nous arrange lorsque nous en aurons besoin.
Nous pouvons alors définir des opérateurs différentiels ou intégraux permettant de passer d'un champ à un autre, ou à des grandeurs réelles intégrales. Le lecteur intéressé par davantage de rigueur mathématique est invité à se référer à un cours traitant de ces sujets en tant que tels, le but ici étant simplement de fournir des outils de travail pour les chapitres suivants.
