Cinématique et dynamique du solide
Toupie symétrique dans le champ de pesanteur

Énoncé

Considérons une toupie de symétrique de masse M, de centre d'inertie G, à la distance l de la pointe fixe O et soumise au champ de pesanteur.

  1. Donner le vecteur rotation total.

  2. Donner le lagrangien du système.

  3. Quelles sont les coordonnées cycliques? En déduire les intégrales premières associées ainsi que les vitesses de rotation et .

  4. Écrire la conservation de l'énergie en fonction de , de la vitesse de rotation associée et des grandeurs conservées. Mettre cette équation sous la forme :

    avec .

  5. La condition énergie cinétique de rotation permet de déduire les conditions limites sur . Montrer qu'un mouvement de nutation apparaît, lequel dépend du signe de la quantité ( ).

  6. Une rotation stable autour de l'axe Oz correspond à et à un minimum de . Quelle inégalité doit être vérifiée par ?

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