Énoncé
Déterminer les axes principaux et les moments d'inertie des solides homogènes suivants
Un parallélépipède rectangle de coté
,
,
, étudier les cas
et
.
Une boule de rayon
.
Une balle creuse de rayon
et d'épaisseur
.
Un cylindre de rayon
et de hauteur
.
Un tuyau de rayon extérieur
de hauteur
et d'épaisseur
.
Utiliser la symétrie des objets pour déterminer les axes principaux.
Le parallélépipède étant homogène, le centre de gravité
est à l'intersection des diagonales. Il possède trois plans de symétrie parallèles aux faces, on en déduit que les trois axes principaux sont les axes passant par les centres des faces opposées. En introduisant un repère cartésien
avec le vecteur
parallèle aux arrêtes de longueur
, le vecteur
parallèle aux arrêtes de longueur
et le vecteur
parallèle aux arrêtes de longueur
.
En décomposant les intégrales il vient :
soit
et finalement en introduisant la masse
du solide
De la même façon, on obtient :
et
Le centre de gravité
d'une boule homogène est au centre de la boule est comme tout axe passant par
est un axe de symétrie d'ordre supérieur à
, tout axe passant par
est un axe principal d'inertie. On introduit le repère cartésien
, les axes étant choisis sans distinction.
Les trois axes principaux étant aussi des axes de symétrie d'ordre supérieur à trois, les trois moments d'inertie sont égaux:
avec
On en déduit facilement que
Au lieu de faire le calcul directement, il est plus simple de calculer
car l'intégrale
se calcul simplement en passant aux coordonnées polaires :
où l'on a introduit la masse
. Soit finalement
et donc
La balle creuse possède les mêmes symétries que la boule, on en déduit donc que le centre de gravité
est au centre de la balle et que les trois axes du repère cartésien
sont des axes principaux d'inertie de moments égaux
. Pour calculer le moment d'inertie, on peut décomposer la balle creuse en une boule homogène de rayon
à laquelle on a prélevé une boule homogène de rayon
. Dès lors, on peut calculer
comme
soit en introduisant la masse
Le cylindre étant homogène, le centre de gravité
est situé au milieu de l'axe de symétrie
, l'axe
est donc un axe principal d'inertie. Tout plan contentant
est un plan de symétrie donc les deux autres axes principaux sont perpendiculaires à
et passent par le centre de gravité. On introduit le repère cartésien
en alignant
le long de l'axe
.
Comme
est un axe de symétrie d'ordre supérieur à 3
. Calculons
:
Pour mener le calcul, il faut découper le cylindre en ``tranches'' parallèles au plan
et d'épaisseur
. Chaque tranche est un parallélépipède rectangle d'épaisseur
de longueur
et de largeur
. La largeur
dépend de la position
de la tranche dans le cylindre. Le calcul s'effectue en intégrant en premier lieu sur
et
puis sur
. Comme le cylindre est homogène, l'élément de masse
vaut
.
Or
Soit
la largeur
est la longueur d'une corde d'un cercle de rayon
à une distance
du centre du cercle, on en déduit la relation
soit
d'où
Les calculs se simplifient en posant
ainsi
et
de sorte que :
Pour calculer les intégrales, il faut linéariser les cosinus
soit
Le calcul de
est plus rapide :
Le tuyaux possède le même centre de gravité et les mêmes axes de symétrie que le cylindre précèdent. Comme pour la balle creuse, on peut imaginer le tuyau comme composé d'un cylindre plein de rayon
auquel on retire un cylindre de rayon
. Cela donne pour les moments principaux en appelant
la densité :
où
est la masse du tuyau