Énoncé
Un cylindre
homogène de masse
de rayon
et de hauteur
est mis en rotation avec une vitesse
autour d'un axe
passant par le centre de gravité de
et incliné d'un angle
constant par rapport à l'axe de symétrie
du cylindre. Calculer les moments des forces appliquées par l'axe
sur le bâti.
à compléter
Déterminer les trois moments d'inertie principaux du cylindre et les axes propres.
Décomposer le vecteur rotation du cylindre dans la base des axes propres du cylindre. En déduire l'énergie cinétique du cylindre.
En déduire le tenseur d'inertie du cylindre dans une base cartésienne dont l'un des axes est confondu avec l'axe de rotation
.
NLP_C_M02_G01
à compléter
On note
un repère cartésien fixe par rapport au sol d'origine le centre de gravité
de
dont le vecteur
est aligné avec l'axe
,
un repère cartésien fixe par rapport au cylindre d'origine
dont le vecteur
est aligné avec l'axe
et
un repère cartésien fixe par rapport au cylindre d'origine
dont le vecteur
est aligné avec l'axe
.
Les axes principaux du cylindre sont confondus avec les axe du repère
. Calculons les moments principaux d'inertie. Pour des raisons de symétrie, il est évident que
. Néanmoins le calcul est un peu long
Pour mener le calcul, il faut découper le cylindre en ``tranches'' parallèles au plan
et d'épaisseur
. Chaque tranche est un parallélépipède rectangle d'épaisseur
de longueur
et de largeur
. La largeur
dépend de la position
de la tranche dans le cylindre. Le calcul s'effectue en intégrant en premier lieu sur
et
puis sur
. Comme le cylindre est homogène, l'élément de masse
vaut
.
Or
Soit
la largeur
est la longueur d'une corde d'un cercle de rayon
à une distance
du centre du cercle, on en déduit la relation
soit
d'où
Les calculs se simplifient en posant
ainsi
et
de sorte que :
Pour calculer les intégrales, il faut linéariser les cosinus
soit
Le calcul de
est plus rapide :
Le vecteur rotation
du cylindre par rapport au repère fixe
a pour composante
. On peut exprimer ce vecteur dans la base
:
l'axe
étant choisi perpendiculaire au plan
.
L'énergie cinétique est alors triviale à calculer :
Pour déterminer le tenseur d'inertie dans la base
, utilisons l'expression déterminée dans la base
et la matrice de changement de base de
à
:
C'est une matrice de rotation d'un angle
suivant l'axe
. On peut alors obtenir le tenseur d'inertie
dans la base
en effectuant le changement de base
on obtient
Calculons maintenant le moment cinétique du cylindre au point
dans la base
:
Dans le cas particulier
, on retrouve la valeur attendue pour le moment cinétique
. On remarque que le moment cinétique n'est pas aligné avec l'axe de rotation mais dans le plan
.
Appelons
le moment des forces de liaisons du bâti sur l'axe de rotation
calculé au point
. Le moment du poids calculé au point
est nul. Il en sort que les moments des forces extérieures agissant sur le cylindre se résume à
. Nous pouvons maintenant appliquer le théorème du moment cinétique dans le repère galiléen
Dans l'expression dont nous disposons pour le moment cinétique, le vecteur
n'est pas fixe par rapport à la base
mais effectue une rotation de vitesse angulaire
dans le plan
. En choisissant l'origine des temps dans une configuration où les vecteurs
et
sont confondus on obtient
On en déduit le moment des forces de liaison :
qui est porté par l'axe tournant
. Bien entendu, le moment des forces de l'axe de rotation sur le bâti est l'opposé. Remarquons que le moment des forces de liaison s'annule si l'axe de rotation est confondu avec un axe principal du solide
avec
où si l'axe de rotation est dans un plan principal
.