Cinématique et dynamique du solide

Etude d'un yo-yo

Énoncé

Un yo-yo est composé d'une corde de longueur de diamètre et de masse négligeable s'enroulant en spirale sur un cylindre de masse , de rayon et de longueur . Le cylindre est bordé de deux cylindres identiques et de masse et de rayon . Les trois cylindres , et sont homogènes et coaxiaux d'axe ; ils forment le solide noté .

Déterminer le centre de gravité de et son moment d'inertie par rapport à l'axe .
À partir de quelle valeur du rapport peut-on négliger la contribution du cylindre central à l'inertie du solide si les trois cylindres ont la même densité et la même longueur?
L'extrémité libre de la corde est accrochée à un point fixe par rapport à un référentiel Galiléen. Donner le nombre de degrés de liberté du système en supposant que la corde dévidée reste toujours verticale et que l'axe reste horizontal. Déterminer l'équation du mouvement du yo-yo. Donner la solution dans le cas d'une corde d'épaisseur nulle.

Aide simple

Solution détaillée

Montrons au préalable le centre de gravité d'un cylindre homogène de masse , de centre , de rayon et de hauteur est confondu avec . Le calcul est simple dans une base cylindrique .

Soit en séparant les intégrales :

ce qui démontre bien le résultat.
On peut maintenant calculer le centre de gravité de en le décomposant en trois cylindres homogènes. En appelant le centre du solide , le centre de gravité de est en , les centres de gravité et sont tels que dès lors il vient

Le centre de gravité est évidement confondu avec .
Passons au calcul du moment d'inertie :

où est la distance du point courant à l'axe , après calcul de chaque intégrale on obtient

soit encore
.
Si les trois cylindres ont même densité et même longueur alors . La contribution relative du cylindre est inférieur à 5% si soit pour .
On introduit un repère cartésien avec l'axe dirigé suivant la verticale ascendante. En l'absence de contrainte géométrique le solide à trois degrés de liberté de translation et trois degrés de liberté de rotation. Comme l'axe est horizontal, il n'y a que deux degrés de rotation et comme la corde dévidée est verticale, les trois degrés de liberté de translation sont liés directement aux deux rotations. Finalement, le yo-yo possède donc deux degrés de liberté.
On note l'angle de rotation du yo-yo autour de l'axe et l'angle de rotation de dans le plan . On appelle les coordonnées cartésiennes du point . On introduit aussi la distance du centre de gravité à l'axe , il est évident que .
Il faut maintenant réaliser le lien entre les deux variables angulaires et et les variables de translation , et . Les coordonnées dans le plan horizontal sont liées à la rotation d'angle et à la distance : x
La distance est liée à l'angle de rotation puisque la corde s'enroule en spirale
où l'on a pris comme référence lorsque toute la corde est dévidée. Enfin, l'altitude est aussi reliée à l'angle du fait du dévidement de la corde :

la constante se détermine quand alors soit et finalement
.
Déterminons l'énergie potentielle :

On peut maintenant déterminer l'énergie cinétique

où l'on a introduit le moment de rotation de une direction transverse à . En remplaçant les variables , et par leurs expressions en fonction de

Le Lagrangien vaut

Avant d'aller plus loin en remplaçant , on peut noter que est une coordonnée cyclique est que donc l'impulsion est une constante du mouvement

ce qui implique que est une constante du mouvement. On se placera dans le cas où et on choisira .
Écrivons maintenant l'équation pour la variable , calculons en premier lieu l'accélération généralisée

et donc
;
puis la force généralisée

Soit finalement en posant

Si , l'équation du mouvement devient

ce qui correspond à un mouvement uniformément accéléré.

Fin