Éléments de mécanique du solide

Moments d'inertie d'un cylindre plein

Le cylindre est un solide dont les symétries sont simples et explicites.

Ses axes principaux sont représentés sur la Fig. 5 a.

Le cylindre est plein et homogène, de rayon , de hauteur et de masse .

Sa masse volumique est constante et notée .

Fig. 5 a) : Cylindre de rayon R et de hauteur h

Pour aller au plus simple, le centre du repère est le CDM du cylindre.

Le calcul du moment d'inertie produit une intégrale volumique ( ) délimitée par la surface du solide.

Ainsi les coordonnées cylindriques sont adaptées telles que : la variable radiale, , du plan varie de à , celle angulaire de à et la côte de à .

Le volume total du cylindre est .

L'axe principal du cylindre est et son moment d'inertie est :

Les éléments d'intégration ont été mis en évidence par leur variation respective.

Le choix de coordonnées adaptées à la symétrie permet de séparer les intégrales.

Les deux autres directions propres correspondent aux axes de symétrie contenus dans le plan transverse à passant par ; elles sont équivalentes et indiscernables en termes de rotation : les moments principaux, et , sont égaux.

De ce fait, une alternative au calcul direct est l'utilisation d'une propriété présentée ci-dessus : le moment d'inertie par rapport au centre du repère , selon :

Ce qui permet de déterminer .

Ces axes sont des axes propres du cylindre et leurs moments d'inertie sont principaux.

Les termes hors diagonale du tenseur d'inertie sont identiquement nuls.

ComplémentQuelques variantes.

  • Selon l'utilisation du cylindre, une translation des axes à la base ou sur une génératrice (cylindre qui roule) implique l'utilisation du théorème de Huygens pour calculer d'autres moments d'inertie.

  • Si le cylindre est complétement creux, les intégrales ci dessus sont des intégrales de surface.

    La variable radiale vaut , et les deux autres variables ont des variations inchangées pour décrire le pourtour du cylindre.

    Ainsi le moment d'inertie principal vaut et présente, à masse égale, un effet plus "inertiel" qu'un cylindre plein.

    Les deux autres moments principaux d'inertie sont calculés selon la même procédure décrite ci-dessus.

  • Pour un cylindre creux entre les rayons et , le calcul direct ci-dessus peut être reproduit avec la spécificité de la variation radiale suivante : varie entre et .

    Il est utile de comparer le moment d'inertie avec celui d'un cylindre plein de rayon et de masse dont a été déduit le moment du creux cylindrique (de masse volumique ) pour obtenir :

Sur ces quelques variantes, l'effet inertiel du cylindre est progressif du cylindre plein à celui creux en passant par l'épaisse bordure.

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