Oscillateurs linéaires ; oscillateurs couplés - Oscillations forcées par un signal carré d'un bloc accroché à un ressort

Oscillateurs linéaires ; oscillateurs couplés

Oscillations forcées par un signal carré d'un bloc accroché à un ressort

Énoncé

On considère un bloc de masse pouvant se déplacer sans frottement le long d'un support horizontal de direction (vecteur unitaire ). Il est attaché à un point d'ancrage fixe par l'intermédiaire d'un ressort de constante de raideur et de masse négligeable. On suppose que le déplacement du bloc est toujours d'amplitude suffisamment faible pour que la loi de Hooke soit vérifiée. A l'équilibre, le bloc se trouve en un point et le ressort n'est ni tendu, ni comprimé.

Le bloc étant initialement immobile en sa position d'équilibre, on applique brutalement une force pour les temps ( est une constante positive). L'application de cette force cesse brutalement au temps ( pour , voir ci-dessous).

Schéma du dispositif et évolution temporelle du forçage

Etablir l'équation différentielle gouvernant l'évolution de la position du bloc pour .
Résoudre cette équation différentielle et donner la loi d'évolution de la position du bloc pour compte tenu des conditions initiales formulées précédemment.
Etablir l'équation différentielle gouvernant l'évolution de la position du bloc pour .
Les conditions initiales à étant fournies par la loi horaire établie à la question 2, déterminer la loi d'évolution de la position du bloc pour . Pour simplifier les calculs, on fixera dans toute la suite ( représente la période propre de l'oscillateur)
Représenter schématiquement pour .

Aide simple

Solution détaillée

Schéma du dispositif avec bilan des forces dans un référentiel galiléen

En appliquant le principe fondamental de la dynamique à , il vient :

La loi de Hooke donne
Avec :

Avec , et après projection sur l'axe horizontal , on obtient :

Finalement :
(1) avec , où est la pulsation propre.
Une solution réelle est de la forme : où est la solution particulière, et sont les constantes d'intégration. étant de la forme du second membre (ici ), il s'agit d'une constante. et sont à déterminer à partir des conditions initiales.
En dérivant par rapport au temps, on obtient :

et
En remplaçant et dans l'équation (1), il vient :

Les conditions initiales donnent :
et sont forcement non nulles (sinon, il n'y a pas d'oscillations), donc , soit .
Alors, avec : .
D'où : pour .
En appliquant le principe fondamental de la dynamique à , il vient :

Après projection sur l'axe horizontal , on obtient :

Finalement :
avec ,
où est la pulsation propre.
Une solution réelle est de la forme : où et sont les constantes d'intégration à déterminer à partir des conditions initiales.
En dérivant par rapport au temps, on obtient :

A :

D'après l'évolution temporelle du bloc obtenue à la question 2 :

En dérivant par rapport au temps, on obtient :

Ces deux dernières équations sont alors les conditions initiales nécessaires à la résolution de l'équation du mouvement :

et sont forcément non nulles (sinon, il n'y a pas d'oscillations), donc , soit .
Alors, avec , soit : .
D'où : pour .
Voir courbe :

Figure 3 : représentation graphique de l'évolution temporelle de la position du bloc.