Oscillateurs linéaires ; oscillateurs couplés
Vibration d'une molécule triatomique linéaire

Énoncé

Pour étudier les modes de vibrations longitudinales d'une molécule triatomique , on assimile les liaisons entre les atomes à des ressorts de raideur . On désignera par , et les masses respectives des atomes , et . On notera par , et les déplacements respectifs des atomes , et par rapport à leur position d'équilibre.

On admet que la molécule n'est pas animée d'un mouvement de translation et que le poids des atomes est négligeable devant la tension du ressort. La masse du ressort simulant la liaison est négligeable et on suppose que l'amplitude de déplacement des deux atomes est toujours suffisamment faible pour que la loi de Hooke soit vérifiée. Finalement, tous les frottements sont considérés comme négligeables.

Schéma du système
  1. Etablir le système d'équations différentielles gouvernant l'évolution de la position des trois atomes dans le temps.

  2. On considère désormais que les atomes et sont de masse identique de sorte que et . Les ressorts ont la même constante de raideur .

    2.a) On introduit les nouvelles fonctions et mesurant l'écart entre les positions des atomes et et la position de l'atome .

    Donner les équations différentielles portant sur les fonctions et .

    Pour simplifier, on introduira les deux paramètres et .

    2.b) Ecrire le système de deux équations différentielles obtenu à la question 1 sous la forme vectorielle : et déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres de .

    2.c) Montrer que la solution générale du système d'équations du mouvement s'écrit sous une forme simple.

    2.d) Préciser le ou les mode(s) propre(s) de vibration du système d'oscillateurs et donner la ou les pulsation(s) propre(s) de vibration du système.

  3. A l'instant :

    3.a) L'atome est écarté d'une distance de sa position d'équilibre tandis que l'atome en est écarté d'une distance . Les deux atomes sont lâchés en même temps sans vitesse initiale. Donner les lois horaires d'évolution de la position des deux atomes. Préciser la nature du mode propre de vibration excité par ces conditions initiales.

    3.b) Les atomes et sont écartés de leur position d'équilibre d'une distance . Les deux atomes sont lâchés en même temps sans vitesse initiale. Donner les lois horaires d'évolution de la position des deux atomes. Préciser la nature du mode propre de vibration excité par ces conditions initiales.

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