Oscillateurs linéaires ; oscillateurs couplés - Vibration d'une molécule triatomique linéaire

Oscillateurs linéaires ; oscillateurs couplés

Vibration d'une molécule triatomique linéaire

Énoncé

Pour étudier les modes de vibrations longitudinales d'une molécule triatomique , on assimile les liaisons entre les atomes à des ressorts de raideur . On désignera par , et les masses respectives des atomes , et . On notera par , et les déplacements respectifs des atomes , et par rapport à leur position d'équilibre.

On admet que la molécule n'est pas animée d'un mouvement de translation et que le poids des atomes est négligeable devant la tension du ressort. La masse du ressort simulant la liaison est négligeable et on suppose que l'amplitude de déplacement des deux atomes est toujours suffisamment faible pour que la loi de Hooke soit vérifiée. Finalement, tous les frottements sont considérés comme négligeables.

Schéma du système

Etablir le système d'équations différentielles gouvernant l'évolution de la position des trois atomes dans le temps.
On considère désormais que les atomes et sont de masse identique de sorte que et . Les ressorts ont la même constante de raideur .
2.a) On introduit les nouvelles fonctions et mesurant l'écart entre les positions des atomes et et la position de l'atome .
Donner les équations différentielles portant sur les fonctions et .
Pour simplifier, on introduira les deux paramètres et .
2.b) Ecrire le système de deux équations différentielles obtenu à la question 1 sous la forme vectorielle : et déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres de .
2.c) Montrer que la solution générale du système d'équations du mouvement s'écrit sous une forme simple.
2.d) Préciser le ou les mode(s) propre(s) de vibration du système d'oscillateurs et donner la ou les pulsation(s) propre(s) de vibration du système.
A l'instant :
3.a) L'atome est écarté d'une distance de sa position d'équilibre tandis que l'atome en est écarté d'une distance . Les deux atomes sont lâchés en même temps sans vitesse initiale. Donner les lois horaires d'évolution de la position des deux atomes. Préciser la nature du mode propre de vibration excité par ces conditions initiales.
3.b) Les atomes et sont écartés de leur position d'équilibre d'une distance . Les deux atomes sont lâchés en même temps sans vitesse initiale. Donner les lois horaires d'évolution de la position des deux atomes. Préciser la nature du mode propre de vibration excité par ces conditions initiales.

Aide simple

Solution détaillée

Schéma du système avec bilan des forces dans un référentiel galiléen

1. En appliquant le principe fondamental de la dynamique à quelconque, il vient :

- Pour : .

La loi de Hooke donne :

Afin d'obtenir l'équation du mouvement dans les repères d'origine , et , il faut exprimer , , et en fonction de et/ou et/ou :

Avec , et :

- Pour :

, et ; après projection sur l'axe horizontal , on obtient :

2.a) On a : , ,

d'où :

En soustrayant par et par , on obtient :

D'où : avec et

2.b) Sous forme vectorielle, ce système s'écrit : , avec :

On cherche alors une solution réelle de la forme

En dérivant deux fois cette solution par rapport au temps et en remplaçant dans l'équation vectorielle, il vient :

En posant , on a alors un problème aux valeurs propres avec valeur propre de et vecteur propre de .

Pour déterminer les valeurs propres, il faut résoudre : .

D'où :

On a alors deux solutions possibles : . Ce sont les valeurs propres de .

Pour déterminer les vecteurs propres, il faut résoudre : et .

Ici :

On choisit en général l'unité pour la valeur de , soit :

De la même façon :

Soit :

On a alors :

- le vecteur propre associé à la valeur propre

2.c) La solution générale du système d'équations est de la forme . Avec , il s'agit d'une combinaison linéaire des solutions aux valeurs propres telle que :

où , , et sont des constantes.

Ici :

D'où : ,

où , , et sont les constantes d'intégration.

2.d) Le mouvement peut être décomposé en une superposition (somme) de mouvements harmoniques appelés modes propres (ou modes normaux) de vibration.

On reconnaît ici des solutions d'un oscillateur harmonique du type .

Les modes propres du système sont alors :

avec sa pulsation propre.

On peut donc écrire les équations du mouvement obtenues à la question 2.c de la façon suivante :

3.a) Avec les conditions initiales énoncées, on a :

Alors : , soit

Et : , soit

Ce qui donne :

Finalement :

Ici, seul le mode est excité par ces conditions initiales puisque . Dans ce cas, les deux atomes se déplacent par rapport à l'atome avec la même amplitude et en opposition de phase.

Représentation schématique de l'état de vibration du mode normal q_2 (t)

3.b) Avec les conditions initiales énoncées, on a :

Alors : , soit

Et : , soit

Ce qui donne :

Finalement :

Ici, seul le mode est excité par ces conditions initiales puisque . Dans ce cas, les deux atomes se déplacent par rapport à l'atome avec la même amplitude et en phase.

Représentation schématique de l'état de vibration du mode normal q_1 (t)

Fin