Oscillateurs linéaires ; oscillateurs couplés - Exemple d'oscillateur forcé, le sismographe

Oscillateurs linéaires ; oscillateurs couplés

Exemple d'oscillateur forcé, le sismographe

Énoncé

Un sismographe est un appareil permettant de mesurer l'amplitude d'une secousse quelle que soit sa fréquence.

Le dispositif peut être schématisé par une masse suspendue à un ressort, de constante de raideur et de longueur à vide . L'autre extrémité du ressort est accrochée à un support horizontal mobile.

Le mouvement est amorti par une force de frottement de type fluide de norme proportionnelle à la vitesse de la masse et de sens opposé à celle-ci ( , est le coefficient de frottement). La masse du ressort est négligeable et la loi de Hooke est supposée vérifiée.

Lorsqu'une secousse se produit, elle applique sur le support mobile une modulation sinusoïdale de la forme , où est l'amplitude de la secousse et sa pulsation. On notera l'accélération de la pesanteur.

Etablir l'équation différentielle gouvernant l'évolution de la position de la masse par rapport à sa position d'équilibre.
Rappeler à quoi correspond le régime permanent et écrire, sans résoudre l'équation différentielle, la loi d'évolution de la position de la masse dans ce cas.
En utilisant la notation complexe, déterminer l'amplitude du mouvement de la masse et son déphasage .
Montrer que l'utilisation de ce dispositif comme un sismographe est simplifiée lorsque la pulsation propre du ressort est très petite devant celle de la secousse et en négligeant les frottements.

Aide simple

Solution détaillée

Schéma du dispositif avec bilan des forces

En appliquant le principe fondamental de la dynamique à l'équilibre, il vient :

La loi de Hooke donne .
On obtient :
En appliquant à présent le principe fondamental de la dynamique à quelconque, il vient :
, où est l'accélération de la masse dans le repère mobile attaché au support et l'accélération de ce dernier due à la secousse.
La loi de Hooke donne
La force de frottement visqueux s'écrit :
Avec et :

Et :
Après projection sur l'axe vertical , on obtient :

Or, (voir plus haut)
D'où :
En divisant par , on obtient :
avec et ,
où est la pulsation propre de la masse et est le taux d'amortissement.
Dans le cas d'un mouvement oscillatoire forcé d'une masse, sa position en fonction du temps est donnée par la somme de deux termes :
- Un premier terme correspondant à la réponse transitoire consécutive à la mise en marche du forçage, généralement équivalent à un mouvement amorti.
- Un second terme équivalent à un oscillateur harmonique de pulsation égale à celle du forçage .
Aux temps longs, le premier terme peut être négligé devant le second. L'oscillateur est alors dans un régime permanent sinusoïdal équivalent à un oscillateur harmonique dont la loi horaire d'évolution de la position s'écrit :
En notation complexe, cette loi s'écrit :
, avec
Après dérivation par rapport au temps et en remplaçant dans l'équation du mouvement de la masse déterminée à la question 1, on a :

D'où :
étant le module de , il vient :

De la même façon, étant l'argument de , il vient :
Avec (on néglige les frottements), on obtient :

Lorsque la pulsation propre du ressort est très petite devant celle de la secousse, soit : .
Dans ce cas, la réponse du dispositif a environ la même amplitude que l'onde sismique responsable du forçage. On mesure alors directement l'amplitude de la secousse.