Oscillateurs linéaires ; oscillateurs couplés - Oscillations couplées de deux masses avec trois ressorts

Oscillateurs linéaires ; oscillateurs couplés

Oscillations couplées de deux masses avec trois ressorts

Énoncé

On considère deux blocs de masses respectives et liés l'un à l'autre par un ressort de constante de raideur . Le bloc de masse est lié à un point d'ancrage fixe par l'intermédiaire d'un ressort de constante de raideur et, à l'autre extrémité du système, le bloc de masse est lié à un point d'ancrage fixe par l'intermédiaire d'un ressort de constante de raideur .

La masse des ressorts est négligeable et on suppose que l'amplitude de déplacement des deux blocs est toujours suffisamment faible pour que la loi de Hooke soit vérifiée. Finalement, tous les frottements sont considérés comme négligeables.

Schéma du dispositif

Etablir le système d'équations différentielles gouvernant l'évolution de la position des deux blocs dans le temps.
On considère désormais que les blocs sont de masse identique de sorte que et que les ressorts ont la même constante de raideur .
2.a) Ecrire le système de deux équations différentielles obtenu à la question 1 sous la forme vectorielle : et déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres de .
2.b) Montrer que la solution générale du système d'équations du mouvement s'écrit sous une forme simple.
2.c) Préciser le ou les mode(s) propre(s) de vibration du système d'oscillateurs et donner la ou les pulsation(s) propre(s) de vibration du système.
A l'instant :
3.a) Le bloc de masse est écarté d'une distance de sa position d'équilibre tandis que le bloc de masse en est écarté d'une distance . Les deux blocs sont lâchés en même temps sans vitesse initiale.
Donner les lois horaires d'évolution de la position des deux blocs. Préciser la nature du mode propre de vibration excité par ces conditions initiales.
3.b) Les blocs de masse et sont écartés de leur position d'équilibre d'une distance . Les deux blocs sont lâchés en même temps sans vitesse initiale.
Donner les lois horaires d'évolution de la position des deux blocs. Préciser la nature du mode propre de vibration excité par ces conditions initiales.

Aide simple

Solution détaillée

Schéma du dispositif avec bilan des forces dans un référentiel galiléen

En appliquant le principe fondamental de la dynamique à quelconque, il vient :
- Pour : .
- Pour : .
La loi de Hooke donne :
Afin d'obtenir l'équation du mouvement dans les repères d'origine et , il faut exprimer , , et en fonction de et/ou :

Avec et :
- Pour :
.
- Pour :
.
, et après projection sur l'axe horizontal , on obtient :
a) On a : et .
En divisant par les équations obtenues à la question 1, on obtient :

Sous forme vectorielle, ce système s'écrit : , avec :
et
On cherche alors une solution réelle de la forme
En dérivant deux fois cette solution par rapport au temps et en remplaçant dans l'équation vectorielle, il vient :

En posant , on a alors un problème aux valeurs propres avec valeur propre de et vecteur propre de .
Pour déterminer les valeurs propres, il faut résoudre : .

D'où :
On a alors une équation du second degré avec deux solutions possibles : . Ce sont les valeurs propres de .
Pour déterminer les vecteurs propres, il faut résoudre : et .
Ici :
On choisit en général l'unité pour la valeur de , soit :
De la même façon :

Soit :
On a alors :
- le vecteur propre associé à la valeur propre
- le vecteur propre associé à la valeur propre
b) La solution générale du système d'équations est de la forme . Avec , il s'agit d'une combinaison linéaire des solutions aux valeurs propres telle que :
où , , et sont des constantes.
Ici :
D'où : ,
où , , et sont les constantes d'intégration.
c) Le mouvement peut être décomposé en une superposition (somme) de mouvements harmoniques appelés modes propres (ou modes normaux) de vibration.
On reconnaît ici des solutions d'un oscillateur harmonique du type .
Les modes propres du système sont alors :
avec sa pulsation propre.
avec sa pulsation propre.
On peut donc écrire les équations du mouvement obtenues à la question 2.b de la façon suivante :
a) Avec les conditions initiales énoncées, on a :

et
Alors : , soit
Et : , soit
Ce qui donne :
Ici, seul le mode est excité par ces conditions initiales puisque . Dans ce cas, les deux masses se déplacent avec la même amplitude et en opposition de phase. Le ressort central exerce une force de rappel sur les deux masses.
b) Avec les conditions initiales énoncées, on a :

et
Alors : , soit
Et : , soit
Ce qui donne :
Ici, seul le mode est excité par ces conditions initiales puisque . Dans ce cas, les deux masses se déplacent avec la même amplitude et en phase. Il n'y a pas d'effet du couplage dû au ressort central.