• Déterminer la position du mobile dans le référentiel lié au sol.

• Déterminer l'accélération du mobile par rapport à puis par rapport à .

• Faire le bilan des forces s'appliquant sur le mobile.

• Appliquer le principe fondamental de la dynamique dans le repère galiléen .

• En déduire l'expression du principe fondamental de la dynamique dans le repère non galiléen .

1. En appelant la position du centre de gravité du mobile, le vecteur position du mobile dans le repère est : . Il peut être décomposé en utilisant le centre du repère lié à l'ascenseur : , faisant ainsi apparaître le vecteur position du mobile dans le repère et le vecteur position de l'ascenseur . Le solide étant indéformable, le vecteur est constant tant que le mobile ne décolle pas du sol de l'ascenseur.

On obtient l'accélération en dérivant deux fois le vecteur position dans le repère choisi. Ainsi l'accélération du mobile par rapport au référentiel est

.

Alors que l'accélération du mobile par rapport au référentiel est quant à elle :

puisque le vecteur est constant tant que le mobile reste collé au sol.

Bilan des forces agissant sur le mobile

Il y a deux forces extérieures s'appliquant sur le mobile :

• Le Poids dû à l'interaction gravitationnelle entre le mobile et la Terre. Le poids est vertical descendant et de module où est l'accélération de la pesanteur (supposée ici constante), soit finalement .

• La réaction de l'ascenseur sur le mobile. La réaction est verticale ascendante strictement : avec .

Application du principe fondamental de la dynamique dans

Le repère étant galiléen, on peut appliquer le principe fondamental de la dynamique stipulant que la somme des forces extérieures s'appliquant sur le mobile est égale au produit de sa masse et de son accélération par rapport au repère galiléen soit :

L'égalité vectorielle (7) n'a qu'une seule composante non nulle sur l'axe ; elle est équivalente à l'égalité scalaire issue de sa projection dans la direction soit

Application du principe fondamental de la dynamique dans

Pour appliquer le principe fondamental de la dynamique dans le repère non-galiléen, il faut ajouter aux forces extérieures déjà déterminées et , la force d'inertie issue du mouvement d'entraînement de l'ascenseur : . Le principe fondamental de la dynamique nous affirme alors que la somme des forces extérieures s'appliquant sur le mobile , augmentée des forces d'inertie, est égale au produit de la masse et de l'accélération du mobile par rapport au repère non galiléen ; soit

Encore une fois, cette équation vectorielle se ramène à l'équation scalaire

par projection dans la direction .

2. Analyse de l'équation du mouvement

Remarquons tout d'abord que tant que le mobile reste collé au sol de l'ascenseur, la grandeur n'est pas une variable mais un paramètre puisqu'elle correspond à l'accélération de l'ascenseur qui est imposée de l'extérieur.

Ainsi, la seule inconnue du problème est ici la force de réaction de l'ascenseur sur le mobile qui nous est donnée par l'équation du mouvement.

Lorsque l'ascenseur se déplace à vitesse constante , la réaction compense le poids du mobile .

Si l'ascenseur accélère la réaction augmente , ce qui est à l'origine de la sensation d'écrasement au démarrage de l'ascenseur.

À l'opposé, si l'ascenseur décélère la réaction diminue , ce qui est à l'origine de la sensation de légèreté à l'arrivée de l'ascenseur.

L'analyse précédente est valable tant que le mobile reste collé au sol de l'ascenseur, c'est-à-dire tant que la réaction est positive.

La condition de décollement est l'annulation de la force de réaction, ce qui se produit lorsque l'accélération de l'ascenseur est égale en norme à l'accélération de la pesanteur : .

Dans ce cas, il faut reprendre l'analyse précédente en considérant une accélération relative non nulle.