1. Pour déterminer l'équation du mouvement :

a) Exprimer le vecteur position de la perle dans le repère polaire lié à la circonférence puis dans le repère cartésien lié à la circonférence et enfin dans le repère lié au sol.

b) Exprimer les composantes de l'accélération de la perle par rapport au référentiel galliléen dans le repère cartésien , puis dans le repère sphérique .

c) Identifier les composantes de l'accélération de la perle par rapport au référentiel lié à la circonférence.

d) En déduire les forces d'inertie dans le référentiel .

2. Pour déterminer la stabilité des positions d'équilibre :

a) Identifier les positions d'équilibre en cherchant les solutions de l'équation du mouvement pour une vitesse et une accélération nulles.

b) Faire un changement de variable en posant et obtenir l'équation du mouvement pour la variable .

Quelle doit être la condition sur le comportement asymptotique de (c'est-à-dire la ) pour un point d'équilibre stable ?

c) Résoudre cette équation en supposant . Déduire de la stabilité de en fonction du comportement asymptotique de .

1. Equation du mouvement dans le référentiel

a) Coordonnées du vecteur position dans les différents repères

Les coordonnées cartésiennes du vecteur position s'expriment le plus simplement dans le repère polaire lié à la circonférence :

Sa décomposition dans le repère cartésien tournant se déduit par la projection de sur les axes et , de manière générale,

puisque le repère est orthogonal ( ). Les vecteurs de base d'un repère étant choisis unitaires, les produits scalaires sont simplement où et représentent des indices quelconques.

Tous calculs effectués, on obtient :

Pour obtenir la décomposition dans le repère , il faut à nouveau projeter les vecteurs de base du repère dans le repère .

Comme précédemment, la composante du vecteur dans la direction est le produit scalaire des deux vecteurs c'est-à-dire . La décomposition du vecteur position dans le repère est ici

Nous avons ainsi établi tous les ingrédients pour effectuer simplement le passage d'un repère à un autre. Les calculs suivants pourront donc être menés dans le repère le plus commode.

b) Coordonnées de l'accélération de la perle par rapport au référentiel :

L'accélération de la perle par rapport au référentiel s'obtient en dérivant deux fois le vecteur position , en considérant les vecteurs de base du repère comme fixes. La première dérivation fournit la vitesse

qui s'écrit de manière beaucoup plus élégante dans le repère sphérique :

Le calcul de la vitesse peut se faire de manière plus directe en introduisant le vecteur rotation du repère par rapport à . Cette rotation est la composition de deux rotations : celle qui amène en coïncidence avec puis celle qui amène en coïncidence avec . On peut formaliser cela de la manière suivante :

Or comme il est aisé de le voir et . Le vecteur de rotation ainsi défini, nous pouvons utiliser la règle de changement de repère

soit ici

Dans l'expression (2), le terme du membre de gauche est la vitesse de la perle par rapport au référentiel , qui se calcule en dérivant l'expression du vecteur position en supposant fixes les vecteurs de base du repère associé au référentiel :

puisque et sont constants.

Le premier terme du membre de droite de (2) est la vitesse de la perle dans le référentiel galiléen . On trouve finalement la vitesse recherchée sous la forme

Le calcul de l'accélération, bien qu'un peu long, n'est pas compliqué,

Il fait intervenir la dérivée de deux vecteurs tournants que l'on calcule aisément à l'aide de l'expression (1). La première dérivée vaut

où on a utilisé les relations et ; quant à la seconde,

Finalement, l'accélération de par rapport au référentiel vaut :

c) Accélération de la perle par rapport au référentiel tournant :

La vitesse du point par rapport au référentiel tournant s'exprime le plus simplement dans le repère .

Il en est de même pour l'accélération

On remarque ainsi que

Lors de l'application du principe fondamental de la dynamique dans le repère tournant non-galiléen il faut donc tenir compte de la force d'inertie

composée d'un terme centrifuge et d'un terme de Coriolis.

Application du principe fondamental de la dynamique dans le référentiel

Dans le référentiel non-galiléen la masse est soumise à trois forces :

• son poids qui est vertical descendant de module

• la réaction de la circonférence sur la perle

• La force d'inertie

Le principe fondamental de la dynamique nous permet d'écrire l'égalité vectorielle

En projetant cette égalité sur les trois vecteurs de base du repère on obtient trois égalités scalaires :

Seule l'équation (4) issue de la projection de (3) dans la direction est l'équation du mouvement (c'est-à-dire une équation différentielle du deuxième ordre), les deux autres équations permettant de déterminer les composantes de la réaction de la circonférence sur la perle.

2. Positions d'équilibres

a) Les positions d'équilibre sont les valeurs de pour lesquelles la vitesse et l'accélération de la perle sont nulles. En utilisant l'équation du mouvement (4), on déduit que les positions d'équilibre sont telles que

c'est-à-dire, soit soit . De la première condition il vient . La seconde condition n'a de solution que pour les fréquences de rotation élevées, plus précisément si avec .

Le système mécanique possède donc deux positions d'équilibre pour les basses fréquences ( ) et quatre pour les hautes fréquences ( ). Toutes ces positions ne correspondent pas à des équilibres stables, il faut donc étudier la stabilité de chacune d'entres elles.

b) Stabilité des positions d'équilibre

Pour étudier la stabilité d'une position d'équilibre, il faut linéariser l'équation du mouvement autour de la position d'équilibre. On obtient ainsi une équation du mouvement approchée pour le voisinage de la position d'équilibre ; cette équation étant linéaire, on peut la résoudre et ainsi déterminer le devenir d'une faible perturbation autour de la position d'équilibre. Si celle-ci croît au cours du temps, alors le point d'équilibre est instable.

Pour linéariser l'équation du mouvement (4) autour de cette position d'équilibre, on pose soit, en substituant,

soit en linéarisant (en négligeant les termes en ) et en utilisant le fait que soit un point d'équilibre

ce que l'on peut ré-écrire en utilisant la définition de :

c) L'équation (5) caractérise la stabilité des positions d'équilibre.

Stabilité de :

En reportant la valeur dans l'équation linéarisée (5), on obtient

En posant la solution de l'équation linéarisée est

• si c'est-à-dire si ; le mouvement est alors une oscillation d'amplitude constante traduisant un point d'équilibre stable.

• si c'est-à-dire si ; le mouvement s'écarte indéfiniment du point d'équilibre, il s'agit donc d'un point d'équilibre instable.

Dans ce qui précède, et sont des constantes déterminées par les conditions initiales. Nous remarquons que le point stable caractérisé par "perd'' sa stabilité lorsque la fréquence de rotation dépasse la fréquence critique . La perle initialement au repos en lorsque se met en mouvement dès que .

Stabilité de :

En reportant la valeur dans l'équation linéarisée (5), on obtient

En posant la solution de l'équation linéarisée est quel que soit ; le mouvement s'écarte indéfiniment du point d'équilibre. Le point d'équilibre est donc toujours instable.

Stabilité du point défini par

En remplaçant et dans l'équation linéarisée (5), on obtient

On a toujours puisque sinon le point n'est pas un point d'équilibre. La solution est donc de la forme avec et des constantes déterminées par les conditions initiales. Le point d'équilibre est donc stable puisque le mouvement est une oscillation d'amplitude constante autour du point d'équilibre.

Remarquons que ce point d'équilibre est en fait double : , l'égalité définissant deux points d'équilibre symétriques par rapport à l'axe . Lorsque le point perd sa stabilité et la perle se dirige vers l'un des nouveaux points d'équilibre definis par .

Le fait est que la perle a "le choix'' entre deux points d'équilibre. Ce sont les fluctuations du système qui orientent la perle soit à gauche, soit à droite de l'ancienne position d'équilibre , un peu comme une bille au sommet d'une crète peut tomber d'un côté ou de l'autre en fonction des fluctuations.