Énoncé
Le mouvement d'un point
, de masse
, dans le plan (
) est défini par ses coordonnées polaires
et
, où
est l'angle entre l'axe
et la droite
. On note
la base des coordonnées cylindriques. On désigne par
le vecteur vitesse du point
et par
son vecteur accélération dans le référentiel 'fixe'
. On supposera que
décrit une trajectoire dans le plan
sous l'action d'une force centrale
. Dans tout ce problème, les différents vecteurs seront calculés dans le référentiel
.
Donner la définition d'un mouvement à accélération centrale.
Montrer que le vecteur vitesse aréolaire
est un vecteur constant tout au long du mouvement de
.Calculer l'expression générale du vecteur vitesse
ainsi que celle du vecteur accélération
dans la base
.En déduire l'expression du vecteur
dans cette base ainsi qu'une relation reliant
,
et le module de
. Montrer que cette relation implique que la composante orthoradiale de l'accélération est nulle.On pose
. On admet désormais que u est une fonction de
. Calculer l'expression du vecteur accélération
en fonction de
,
et
En utilisant la formule de Binet obtenue en question 5., trouver l'expression de la force qui s'exerce sur le point
dans le cas où la trajectoire est une ellipse d'équation:
où
est l'excentricité et
le paramètre de l'ellipse sont constants.Application à la répulsion coulombienne (c'est une hyperbole) entre 2 charges
et
, une particule chargée positivement, dans le champ d'une autre particule fixe.
