On rappelle que le débit massique est la quantité de matière traversant une section du tuyau par unité de temps. C'est aussi ici la masse de sable arrivant dans le chariot par unité de temps.

Pour obtenir l'équation différentielle gouvernant l'évolution temporelle de la vitesse du chariot, il faut appliquer la conservation de l'impulsion entre deux instants infiniment proches entre l'instant et l'instant .

Le sable sortant du tuyau percute la surface de sable du chariot. Ces collisions "permanentes" transfèrent de l'impulsion du sable, en chute libre, au chariot. Pour obtenir l'équation différentielle gouvernant l'évolution temporelle de la vitesse du chariot, il faut appliquer la conservation de l'impulsion entre deux instants infiniment proches i.e. entre l'instant et l'instant .

On pose un vecteur unitaire aligné avec l'axe du tuyau et un vecteur unitaire vertical ascendant.

Bilan d'impulsion à l'instant :

On prend en compte le chariot et le sable qui va tomber dans le chariot dans l'intervalle de temps .

Le chariot vide a une masse et il contient une masse de sable ; il se déplace à une vitesse . L'impulsion du chariot à l'instant est donc .

Pendant le "petit'' intervalle de temps va tomber dans le chariot une "petite'' masse de sable . L'intervalle de temps est choisi suffisamment petit pour que l'on puisse supposer que les grains de sable de aient tous la même vitesse ; mais l'intervalle doit aussi être suffisamment grand pour qu'il y ait un certain nombre de grains de sable tombant dans le chariot, nécessaire à l'utilisation de notion de milieu continu comme le débit massique. C'est pourquoi l'intervalle de temps n'est pas infiniment petit mais juste petit.

Dans ce cas, l'impulsion du sable qui va tomber dans le chariot est .

Bilan d'impulsion à l'instant :

A l'instant , le sable considéré précédemment est tombé dans le chariot qui a maintenant une masse et une vitesse , soit une impulsion

En l'absence de frottement, le chariot est soumis à deux forces

• Son poids qui est vertical descendant,

• La réaction des rails qui est verticale ascendante.

Les deux forces étant dans la direction , il n'y a pas de force dans la direction . Le sol étant assimilé à un référentiel galiléen, le principe fondamental de la dynamique nous permet d'affirmer qu'il y a conservation de la projection de l'impulsion dans la direction . On en déduit que

soit en utilisant les expressions obtenues dans le bilan d'impulsion :

L'intervalle de temps étant petit, on peut approcher par son développement de Taylor tronqué au premier ordre , ce qui revient à assumer une variation linéaire de la vitesse dans l'intervalle de temps .

En reportant on obtient,

et après simplification

enfin, en remplaçant par son expression en fonction de

L'intervalle de temps étant petit, le terme en est négligeable devant les termes en et on trouve finalement pour l'équation différentielle régissant l'évolution temporelle de la vitesse :

Résolution de l'équation différentielle :

Pour déterminer l'évolution de la vitesse du chariot, il faut au préalable déterminer l'évolution de la masse de sable dans le chariot, et ce pour remplacer dans l'équation de la vitesse par une dépendance explicite en temps.

La variation de la masse est donnée par l'équation différentielle soit . En supposant qu'à l'instant initial le chariot est vide on obtient , d'où l'équation pour la vitesse du chariot :

C'est une équation différentielle linéaire du premier ordre dont la solution est la somme d'une solution particulière et de la solution de l'équation homogène associée. La solution particulière , qui représente la solution asymptotique, est ici une constante . La solution homogène est la solution de l'équation

dont on peut séparer les variables pour les mettre sous la forme

exprimant ainsi l'égalité en tous points des dérivées de deux fonctions. On en déduit l'égalité à une constante près de leurs primitives soit

ou encore

finalement, la solution générale donnant l'évolution temporelle de la vitesse est

La vitesse du chariot étant nulle à l'instant initial, on a ce qui détermine la constante et ainsi l'évolution de la vitesse

On retrouve effectivement que . Lorsque le module de la vitesse du chariot atteint la même valeur que la composante horizontale de la vitesse du sable, il n'y a plus de transfert d'impulsion horizontale.